2 Тақырып. Термодинамикадағы энергияның рөлі.
Термодинамикадағы негізгі қозғалыс интегралдары (сақталу заңдары).
Лиувильдің теоремасы бойынша:
(1)
мұндағы i=1,2, 3
i - бағыныңқы жүйенің саны
Бұл жоғарыдағы теңдеу 0-ге тең болу үшін екі шарт орындалу керек.
1)
(2)
(p,
q),
- уақыт бойынша өзгермелі шама болсада.
2)
(3)
Бұл термодинамикадан 2 негізгі қорытынды жасауға болады.
1. Бағыныңқы жүйе қаншама өзгергенмен (қозғалысы жағынан) олардың қосындысы барлық жүйенің шамасын береді.
(4)
бұл жағдайды (күйді) аддитивті күй дейді.
(5)
2) кезкелген функция жалпылама импульс пен жалпылама
координатарынан тұратын функция.
Мысалы:
(6)
Тепе теңдік күйдегі тұйықталған термодинамикалық жүйе.
(7)
(7) 1-ші негізгі қозғалыс интегралы.
(8)
(8) 2-ші негігі қозғалыс интегралы
(9)
(9) 3-ші негігі қозғалыс интегралы
(10)
(7),(8),(9),(10) теңдеулердің мағынасы бір. Бұл теңдеулерді аддитивті теңдеулер немесе аддитивті шарттар дейді. Жоғарыда айтылған осы екі қорытындылардан мынадай тағы бір қорытынды жасауға болады.
(11)
(12)
(13)
(12) теңдеу алғашқы нормировка шартты.
-энергияға,
импульстарға, импульстің моментіне
байланысты тұрақты коэфицентер, шамалар.
Бұлар өзгермейді, егер термодинамикалық
жүйе тепе-тендік күйде және тұйықталған
болса сол уақытта өзгермейді. Ал егер
тепе-тендік жағдайда болмаса, ол уақытта
өзгереді. Мысалы:
1.Фазалық ауысу.
2.Химиялық реакция.
3.Релаксация.
4.Диффузия кезінде.
Сондықтан (7)-(13) теңдеулер термодинамикалық шамалардың аддитивті күйде болатының көрсететің теңдеулер.
Бұдан
(14)
(14)-ші теңдеумен сипатталып:
(15)
-
дельта функция.
(15) теңдеулер орындалу керек.
(14) тендеуді дәлдік теңдеуі деп атаймыз.
Егер
(16) болса онда
міндетті түрде нөлге тең.
Термодинамика,
жалпы
механикада,
көп несе энергияның
сақталу заның қолданады. 
(17)
Әдебиеттер: негізгі және қосымша.
3 тақырып. Статистикалық матрица. Ықтималдық үлестіру (Кванттық статика).
Термодинамикалық жүйелерді зерттегенде тек қана классикалық тұрғыда қарамай, кванттық тұрғыдан қарау керек. Кванттық тұрғыда қарағанда өзгешелігі бар бірақ нәтиже біреу. Кванттық тұрғыда қарастырғанда классикалық ашылмай қалған термодинамиканың кейбір қырлары ашылады, қосымша ұғымдар, шамалар пайда болады. Ол шамалар
1) -статистикалық матрица
-статистикалық
матрицаның тығыздығы деген ұғымдар,
шамаларының орнына енгізіледі.
(1)
dq-интервал, q-дегеніміз - термодинамикалық жалпылама координаттардың жиынтығы. Оны былай да жазуға болады.
q, q+dq; E, E+dE; P; P+dP
Тағы да бір 3-ші ұғым енгізіледі.
-статистикалық
салмақ.
Бұл статистикалық салмақ фазалық кеңістіктегі фазалық көлемнің ролін атқарады, бірақ бұл кванттық шама. Бұл нүкте энергетикалық нүкте, термодинамикалық жүйеге кіретін бөлшектердің энергиясы, энергияның шамасын көрсететін нүкте.
Мына
координаталық жүйені векторлық күйлер
кеңістігі дейді. Әрбір нүктенің күйін
функциясы
арқылы сипаттауға болады. Ал жалпы
күйді
функциясы сипаттайды.
n-дегеніміз кванттық сан.
q-термодинамиканың жалпылама координаталардың жиынтығы .
-
толқындық функция (
.
– Шредингер теңдеуі)
-ді 2 тұрғыда қарастыруға болады.
1. Жалпылама координаталардың.
2. Импульстық тұрғыда.
Термодинамикалық жүйеге кіретін бөлшектердің саны көп болғандықтан бұнда да статистика деген ұғым енгізіледі.Оған енетін ұғымдардың барлығы ықтималдық қасиетке ие болады.
Квантық
тұрғыда қарастырған уақытта бағыныңқы
жүйенің орнына толқындық функция деген
ұғым енгізіледі. Біз бүкіл жүйенің
функциясын табуымыз керек. Ол үшін
мынадай теңдеу жазамыз:
(1) - бұл кванттық механикадан белгілі.
Бұл
жерде Сn
дегеніміз
- нормалық көбейткіш, ал
-бұл
спектралдық көлем немесе статистикалық
салмақ. Ол
(2)
Осы 2 теңдеуді пайдалана отырып, бүкіл координаталар жиынтығы үшін статистикалық матрицаны табуға болады.Ол статистикалық матрица әуелден толқындық функцияның квадратына пропорционал болады.
(3)
Бұлай
болу себебі, статистикалық матрица әр
уақытта оң шама бұны біз норма дейміз.
Енді егердағы (3) теңдеуге (1)-ші теңдеудің
мәнін қоятын болсақ мынадай теңдеу
аламыз.
түйіндес
функция не болмаса.
mdq
(4)
(5)
(5)-ші теңдеу статистикалық матрицаның тығыздығының теңдеуі. Ол нормалық көбейткіштердің көбейтіндісінен тұрады. Кейде (4) теңдеуді былай жазуға болады:
(6)
Орта
шама
не болмаса
(7)
нақты
физикалық шаманың операторы.(1)-(7)-ші
теңдеулерді пайдалана отырып, ықтималдық
үлестіру деген ұғымды еңгізуге болады.
Сол арқылы статистикалық матрицаның
энергияға байланысын дәлелдеуге болады.
Ықтималдық үлестірү.
1) Ықтималдық үлестірү шамасын табу үшін, біз түйықталған тепе-теңдік күйдегі термодинамикалық жүйені қарастырамыз. Термодинамикалық жүйе тепе-теңдік күйге келу үшін бізге шексіз уақыт қажет. Олай болса нормалық көбейткіш уақытқа байланысты шама болып табылады.
n=Cn(t)
2) Әбден өзгеріп тепе-теңдік жағдайға келген уақытта міндетті түрде нормалық шарт орындалу керек. Жоғарыдағы (4), (6) теңдеулер бірге тең болу керек.
Бұл жағдайда (7) теңдеуді еске алыну керек. Бұл 2 шарт орындалған уақытта
болады.
Осыған байланысты біз былай жазайық.
(8)
(8) - теңдеу нормалық көбейткіштердің уақыт байланыстылығын көрсетеді. Уақыттың өзгерісі арқылы көбейткіштің өзгерісін көрсетеді. Бұл кванттық механикадан белгілі. Егер (8) уақыт бойынша дифференциалдасақ, онда
(9)
(10)
Ал (9)-шы теңдеуден.
(11) аламыз
Сонымен (8), (9), (10), (11) теңдеулер статистикалық матрицаның энергияға байланыстығын көрсетеді.
Бір
бөлшек үшін
(12)
Егерде осыған байланысты қозғалыс интегралын пайдаланатын болсақ, ол уақытта
(13)
(13)-ші теңдеу тек қана энергияға байланысты емес, оның аддитивті байланыстығын көрсетеді. Олай болса
(14)
(14)-ші теңдеу статистикалық матрицаның тығыздығына тек қана өзі емес, оған көлемгеде статистикалық саласына да байланысты екендігін көрсетеді.
(15)
(15)-теңдеуде
статистикалық салмақтың
энергияға байланыстылығын көрсетеді.
Енді егер (15)-ті логарифмдасақ:
(16)
Бұдан
мына теңдеуді алуға болады
(17)
Термодинамикада
бұл теңдеуді тапқан Гиббс. S-энтропия
дейді. Бұл ұғымды енгізген Клаузиус
1865 жылы. Бұл жерде
(18)-теңдеуден энтропияның аддитивті шама екендігі көрініп тұр.
Әдебиеттер: негізгі және қосымша.