II.III. Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок

Метод Рэлея-Ритца позволяет расчетным путем приближенно определять частоты собственных колебаний пластинок переменной толщины и, в частности, дисков турбомашин. Преимуществом этого метода является также возможность легко учесть влияние на частоту различных побочных факторов, например начальных напряжений в срединной поверхности пластинки.

Потенциальная энергия деформации пластинки при ее изгибе по форме, определяемой функцией  , выражается двойным интегралом

   

где  ; интеграл берется по всей поверхности пластинки, причем для пластинки постоянной толщины, заделанной по контуру, интеграл от второго слагаемого обращается в нуль.

Обобщенная масса пластинки

                                    

В соответствии с методом Рэлея-Ритца форма колебаний задается в виде ряда

где каждая из координатных функций   удовлетворяет геометрическим граничным условиям.

Равенство нулю определителя системы уравнений

  позволяет определить частоты собственных колебаний.

Если здесь ограничится одним слагаемым, то частота определяется по формуле Рэлея

                                           

Можно задаваться выражением для формы колебаний, в которое параметры   входят нелинейно

В этом случае уравнения метода Рэлея-Ритца оказываются нелинейными и проще исходить не из них, а из условий экстремума, причем значения параметров, при которых достигается этот экстремум, находятся численными методами.

Рассмотрим заделанную по контуру прямоугольную пластинку постоянной толщины. Тогда

.

Проводя вычисления, находим

Для частоты колебаний получаем

При  :

что на 3,3 % выше точного значения.

При расчете колебаний круглых пластин целесообразно использовать выражения энергии деформации и обобщенной массы в полярных координатах 

где интегрирование выполняется по всей срединной поверхности пластинки.

При изучении колебаний осесимметричных пластин полагают

В этом случае интегрирование по   можно выполнить в общем виде и выражения для   и   представляются в форме

                                   

                                                                    )

Для сплошной свободной пластинки вычисления упрощаются, если принять функцию   в виде

где   - параметр, определяемый из условия минимума формулы Рэлея.

Тогда   и   определяются формулами

Чтобы оценить погрешность метода, применим его для расчета частоты колебаний диска постоянной толщины при двух узловых диаметрах. В этом случае

;

Отсюда находим

Минимальное значение частоты при   

что дает ошибку порядка 5 %.

 

Лекция №12. Колебания оболочек

Учебные вопросы

1. Изгибные колебания оболочек

2. Колебания оболочек без растяжения срединной поверхности

3. Круглая пластина постоянной толщины

1. Изгибные колебания оболочек

Изгибные колебания пластинок можно рассматривать независимо от их колебаний в своей плоскости. В отличие от этого при колебаниях оболочек изгиб стенки связан, как правило, с растяжением срединной поверхности. Потенциальная энергия деформации оболочки выражается формулой

где

         

     

Величина   представляет собой энергию растяжения оболочки,   - энергию ее изгиба;   - компоненты деформации срединной поверхности;   - параметры изменения ее кривизны. Интегрирование выполняется по всей срединной поверхности   оболочки. Величины  ,  по известным формулам выражаются через компоненты амплитудного перемещения   точек оболочки.

Амплитудное значение кинетической энергии движения оболочки, совершающей гармонические колебания с частотой  ,

Частота колебаний определяется формулой Рэлея

                                            

Числитель и знаменатель дроби зависят от выбора функции перемещений  . При этом истинные формы собственных колебаний сообщают последнему выражению стационарные значения, а первая собственная форма - минимум. Обозначим характерный размер оболочки и характерную толщину через   и   соответственно. Тогда 

                              

где

Величины   и   являются безразмерными и зависят от вида амплитудных функций  . Второе слагаемое, соответствующее энергии изгиба оболочки, имеет малый множитель  , поэтому при минимизации   наиболее существенно уменьшение  , т.е. слагаемого, соответствующего энергии растяжения срединной поверхности.

Если геометрия оболочки и условия ее закрепления это допускают, то наименьшие значения частот отвечают такому выбору функций  , при котором 

Но требование   может быть выполнено только при  , т.е. при отсутствии растяжения срединной поверхности. Такой вид деформации оболочек называется чистым изгибанием.