Круглая пластина постоянной толщины
II.I. Определение форм и частот колебаний
Для
круглой пластины для амплитудной
функции 
следует
перейти к полярным координатам 
.
В этих координатах оператор Лапласа
имеет вид
Таким образом, в полярных координатах принимает уравнения колебаний имеют вид
Решения этих уравнений, соответствующие колебаниям пластины с n узловыми диаметрами, можно представить в виде
После подстановки этого выражения приходим к уравнениям:
Решениями
последних уравнений являются бесселевы
функции порядка 
первого 
и
второго 
рода
и модифицированные бесселевы функции 
, 
.
Таким образом, общее выражение амплитудной
функции с 
узловыми
диаметрами таково:
Для
кольцевой пластинки имеются четыре
граничных условия (по два на каждом
краю), которые образуют однородную
систему уравнений относительно
констант 
Для
сплошной пластинки равны нулю
коэффициенты 
и 
при
функциях, стремящихся к бесконечности
при 
Граничные
условия на внешнем контуре пластинки
образуют в этом случае однородную
систему уравнений относительно
и 
.
Частотное уравнение получается путем
приравнивания нулю определителя системы.
Рассмотрим колебания свободной сплошной круглой пластинки. В этом случае на контуре должны выполняться условия:
Изгибающий момент определяется формулой
Поперечная сила:
Крутящий момент:
Таким образом, граничные условия имеют вид
Учитывая,
что 
является
решением уравнения 
,
а 
-
уравнения 
,
находим
При подстановке вместо его выражения
учтем правила дифференцирования функций Бесселя:
В результате приходим к уравнениям
Здесь
аргументом всех бесселевых функций
является величина 
,
где 
-
радиус пластинки.
Значения 
,
обращающие в нуль определитель полученной
системы, связаны с собственными частотами
равенством
Если
ограничиться формами колебаний без
узловых окружностей, то
значениям 
и 
соответствуют
смещения пластинки как жесткой и нулевые
частоты. При 
(два
узловых диаметра) частотное уравнение
можно привести к виду
При 
наименьший
корень этого уравнения 
и
соответствующая частота собственных
колебаний
Для заделанной по контуру пластинки граничные условия
Частотное уравнение
II.II. Бегущие волны в круглых пластинках
Рассмотренные выше собственные колебания круглых пластинок описываются уравнением
Они соответствуют стоячим волнам на поверхности пластинки, при которых узловые диаметры неподвижны.
Наряду с (330) решением уравнения движения является также выражение
Но поскольку уравнение движения линейно, то их сумма и разность также являются его решениями:
Эти
выражения представляют собой уравнения
бегущих волн. Первое выражение
соответствует вращению всей картины
деформаций вокруг оси симметрии пластинки
в направлении возрастания угла 
с
угловой скоростью 
.
Второе выражение соответствует движению
волны с той же скоростью в противоположном
направлении.
Если имеются внешние нагрузки, вращающиеся по периферии пластинки со скоростью, близкой к скорости распространения собственных колебаний, то такие нагрузки вызовут большие резонансные колебания пластинки.
Практически движущаяся по круглой пластинке нагрузка осуществляется в дисках турбомашин благодаря вращению диска при неподвижной в пространстве нагрузке, обусловленной неравномерностью давления рабочего тела по окружности.
Критические
скорости вращения диска 
могут
быть найдены, если известны частоты его
собственных колебаний 
,
по формуле
,
где - число узловых диаметров при свободных колебаниях с частотой .