Кафедра строительной механики

Ст. преподаватель Колесникова Г.П.

Коспекты лекций по дисциплине

«Инженерная теория колебаний деформируемых конструкций»

Раздел 4. Колебания пластин и оболочек

Лекция №10. Основные понятия, гипотезы и принципы. Уравнение движения пластины постоянной толщины

Учебные вопросы

1. Основные понятия, гипотезы и принципы

2. Уравнение движения пластины постоянной толщины

1. Основные понятия, гипотезы и принципы

Задачи об определении частот и форм собственных колебаний пластин и оболочек приводят к необходимости интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Наиболее хорошо изучены те случаи, когда оказывается возможным разделение переменных. К ним относятся, в частности, колебания прямоугольной пластины, шарнирно опертой по противолежащим сторонам, зонтичные и веерные колебания круглых осесимметричных пластин, колебания цилиндрических оболочек, замкнутых или шарнирно закрепленных вдоль образующих.

Если разделение переменных оказывается невозможным, то для расчета, в основном, используют приближенные и численные методы.

Оболочка – тело, одно из измерений которого (толщина), значительно меньше других.

Пластина – оболочка, срединной поверхностью которой является пластина.

Сферическая (или коническая, или цилиндрическая) оболочка – оболочка, срединной поверхностью которой является сфера (или конус, или цилиндр).

Осесимметричная (симметричная) оболочка – оболочка, срединная поверхность которой является поверхностью вращения.

2. Уравнение движения пластины постоянной толщины

Расположим оси x и y в срединной плоскости пластины, ось z направим по нормали к этой плоскости. Дифференциальное уравнение статического изгиба пластины постоянной толщины h при малых перемещениях имеет вид

Добавляя к внешней нагрузке интенсивность сил инерции,

Получим уравнение движения

При свободных колебаниях нагрузка  , и решение уравнения ищется в виде

Подставляя это выражение в однородное уравнение, соответствующее последнему дифференциальному уравнению, получим для амплитудной функции   уравнение в частных производных

                                         

Это уравнение может быть представлено так:

откуда следует, что решениями являются, в частности, решения более простых уравнений:

                                                  

Или

   

Из бесчисленного множества решений уравнения должны быть отобраны те, которые соответствуют условиям закрепления краев пластинки. Эти условия будут такими же, как и при статическом изгибе:

на жестко защемленном краю

на шарнирно опертом краю

на свободном краю

где    - амплитудный изгибающий момент;

  - приведенная поперечная сила на контуре.

Если пластина отнесена к декартовой системе координат x,y, то

;

где   - угол, образуемый внешней нормалью к контуру с осью х; 

 - радиус кривизны контура.

Лекция №11. Прямоугольная и круглая пластина постоянной толщины

Учебные вопросы

1. Прямоугольная пластина постоянной толщины

I.I. Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

I.II. Асимптотический метод расчета пластин

2. Круглая пластина постоянной толщины

II.I. Определение форм и частот колебаний

II.II. Бегущие волны в круглых пластинках

II.III. Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок