1.2.5.2.Функция распределения ферми-дирака

Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, помимо плотности квантовых состояний N(E) необходимо знать вероятность того, что данное состояние с энергией Е занято частицей, т. е. нужно знать функцию распределения. В условиях теплового равновесия для частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули, справедливо распределение Ферми-Дирака

,

где - постоянная Больцмана, Т- абсолютная температура, - энергия Ферми ( или электрохимический потенциал), т. е. работа, которую необходимо затратить для изменения числа частиц в системе на единицу при условии постоянства объема и температуры.

Рассмотрим вид функции распределения Ферми-Дирака при различных температурах (рис.1.2.9).

При Т=0 в интервале энергий имеем f₀=1, и f₀=0 при , т.е. все квантовые состояния с энергией, меньшей энергии Ферми, выше уровня Ферми полностью свободны, не заняты электронами, и энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля.

При Т>0 для имеем f₀=1/2, т.е. уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре, отличный от абсолютного нуля, равна 0,5. При Т>0 часть электронов в результате теплового движения перейдет в состояния с энергией, большей энергии Ферми (), и соответственно часть состояний, находящихся ниже уровня Ферми, окажется свободной. В этом случае число частиц, перешедших на более высокие энергетические уровни, будет равно количеству образовавшихся свободных состояний в области .

Можно показать, что вероятность заполнения состояний заметно отличается от единицы или нуля лишь в пределах 2-3 вблизи значений .

Функцию распределения Ферми- Дирака характеризует вероятность заполнения данного квантового состояния электроном. Вероятность того, что при тепловом равновесии в состоянии с энергией Е электрон отсутствует, т. е. оно занято дыркой, равна:

,

функция распределения для дырок аналогична функции распределения для электронов, если отсчитывать энергию дырок от уровня Ферми в противоположную сторону по сравнению с направлением отсчета энергии для электронов.

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией ,

,

т.е. совпадает с функцией распределения Больцмана (т. е. классической статистикой). Если носители заряда подчиняются статистике Больцмана, то электронный газ невырожден, и полупроводник с таким распределением носителей называется невырожденным.

1.2.5.3.Степень заполнения примесных уровней

Рассмотрим полупроводник, содержащий донорную примесь в концентрации N_d (рис.1.2.10). Донор, удерживающий электрон, электрически нейтрален( например, один из узлов кристаллической решетки кремния занят атомом мышьяка). При этом пятый валентный электрон атома донорной примеси не принимает участия в ковалентной связи, и ему соответствует энергетический уровень, расположенный ниже дна зоны проводимости на величину Е_d.

Т. к. у донорной примеси имеется только один электрон, который может принимать участие в проводимости, то полное число состояний для донорной примеси должно быть равно количеству атомов введенной примеси на единицу объема кристалла, т.е. N_d.

Пусть концентрация электронов на уровне донорной примеси равна n_d. Тогда концентрация ионизированных донорных атомов p_d, образовавшихся в результате тепловых переходов электронов с донорных уровней в зону проводимости и имеющих положительный заряд, равна

.

Если бы на примесном донорном уровне согласно принципу Паули могли расположиться два электрона с антипараллельными спинами, то вероятность его заполнения определялась бы функцией Ферми – Дирака, в которой вместо Е следует поставить Е_d. Но на уровне Е_d может быть только один электрон, который может быть захвачен двояким образом в зависимость от направления спина. Следовательно, нейтральное состояние донорной примеси имеет вдвое больший статистический вес по сравнению с ионизованным состоянием, и

,

.

Вероятность нахождения электрона на уровне E_d

,

а функция распределения для положительных ионов донорной примеси

.

Таким образом, для одновалентной донорной примеси, для которой примесный уровень двукратно вырожден, фактор (степень) спинового вырождения g=2.

Для акцепторного полупроводника концентрация электронов на уровнях примеси

,

концентрация дырок на примеси