1.2.Распределение бозе-эйнштейна для фотонного газа

Равновесное тепловое излучение в замкнутой полости пред­ставляет собой совокупность стоячих электромагнитных волн с дискретными частотами. Попытки теоретически объяснить на­блюдаемое распределение спектральной плотности излучения по частотам с классической точки зрения оказались несостояте­льными и породили так называемую «проблему теплового из­лучения». В 1900 г. она была решена Планком путем введения в процесс взаимодействия излучения с веществом идеи кванто­вания.

Эйнштейн сделал следующий шаг. Он предположил, и это подтвердилось экспериментом, что само излучение представля­ет собой фотонный газ, газ идеальный. У фотонов спин равен единице. Значит это бозоны, а они подчиняются статистике Бо­зе-Эйнштейна.

Число фотонов в полости не сохраняется, оно зависит от тем­пературы. А для систем с переменным числом бозонов химический потенциал  = 0, и функция (1.3) принимает вид (1.5), т.е.

.

Для фотонов  = h и р=h/c, поэтому число квантовых со­стояний (фазовых ячеек) в интервале частот (, +d) в расче­те на единицу объема фотонного газа равно согласно (1.7)

.

Графики функций f и dZ/d для фотонного газа представле­ны на рис. 1.1 и 1.2. Следует обратить внимание на то, что обе функции ведут себя с ростом частоты  взаимно проти­воположно: f убывает, a dZ/d растет.

В соответствии с формулой (1.8) число фотонов с частотами в интервале (,  + d) равно

.

Коэффициент 2 появился в связи с двумя независимыми по­ляризациями излучения во взаимно перпендикулярных плоско­стях. Другими словами, он указывает на две возможные попе­речные поляризации фотона. Напомним, что в случае электро­нов этот коэффициент учитывал две возможные «ориентации» спина электрона.

График распределения фотонов по частотам, т.е. dn/d, по­казан на рис.1.3.

Площадь под кривой равна полному числу n фотонов в расчёте на единицу объёма фотонного газа.

Теперь перейдем к спектральной плотности энергии излуче­ния (фотонного газа): u_ = du/d, где du = h dn. В результате получим формулу План­ка:

. (1.9)

При переходе от  и h к цикличе­ской частоте  = 2 и надо учесть, что u_d = u_d. Тогда фор­мула Планка приобретает вид:

.

Вернемся к формуле (1.9), графики которой при разных температурах представлены на рис.1.4, где T < Т₂ < Т₃. Пло­щадь под каждой из этих кривых равна полной плотности энер­гии u при соответствующей температуре. Выясним, как эта ве­личина зависит от Т. Для этого представим (1.9) в виде: , где F — функция, вид которой до открытия Планка был неизве­стен. В таком виде формула была получена Ви­ном и получила название формулы Вина. Тогда:

u=,

здесь введена новая временная х = /T. Последний интеграл представляет собой некоторую постоянную a , и мы приходим к выводу, что

u=aT .

Вместо плотности энергии из­лучения u удобнее пользоваться понятием энергетической све­тимости , которая выражает поток энергии излучения с единицы поверхности по всем направлениям в пределах телес­ного угла 2. Можно показать, что обе эти величины связаны соотношением

Тогда . Эта формула и выражает закон Стефана-Больцмана. Здесь  - постоянная Стефана-Больцмана, знак означает, что величина вычисляется для абсолютно черного тела. С помощью формулы Планка можно найти ее зависимость от постоянных с, h, k и ее числовое значение:

 = 5.6710 Вт/(м K) .

Если в стенках полости с равновесным тепловым излучением (фотонным газом) сделать небольшое отверстие, то можно экспе­риментально исследовать спектральный состав выходящего че­рез это отверстие излучения. Это было проделано для разных температур полости. Результаты оказались в прекрасном соот­ветствии с формулой Планка и законом Стефана-Больцмана.

При теоретических исследованиях спектральный состав излучения удобнее характеризовать по ча­стотам, в экспериментальных же - по длинам волн. Имея в виду соотношение u_d =-ud, и  = с/, запишем:

u= - u=F(λT)=.

Наличие знака минус в исходной формуле связано с тем, что с ростом частоты (d>0) длина волны уменьшается ().

Найдем теперь длину волны _т, соответствующую максиму­му функции Это значит, надо решить уравнение

.

Выражение в скобках есть некоторая функция Ф(Т). При дли­не волны _т

соответствующей максимуму функции u, функ­ция Ф(Т) должна обратиться в нуль: Ф(_тТ) = 0. Решение по­следнего уравнения приводит к некоторому значению b величи­ны _тТ . Таким образом, можно записать, что T_т=b . Это и есть закон смещения Вина. Значение постоянной b можно найти экспериментально или с помощью формулы Планка: b=0,29 смK .

С ростом температуры длина волны _т уменьшается, а значит, частота _m увеличивается, как показано на рис.1.4. Заметим только, что _m  с/_т , по­скольку _m соответствует распределению по частотам, а _т - по длинам волн.