8. Поняття про позиційні ігри.

Позиційна гра — це природнє розширення матричної гри двох гравців з нульовою сумою, в якій може брати участь скінчена кількість гравців, кожен з яких може робити послідовно скінчену кількість ходів, причому деякі з них можуть бути випадковими, а інформація про них може змінюватися від одного до іншого ходу. Такі ігри можуть бути формалізовані, певним чином перетворені до гри, що еквівалентна до деякої матричної гри двох гравців з нульовою сумою. Процес приведення позиційної гри до матричної називається нормалізацією, а отримана матрична гра — грою в нормальній формі.

Приклад. Дві корпорації мають бажання встановити між собою ділові зв’язки і вирішити питання про побудову на території другої корпорації виробництва. Гра складається з трьох ходів. Перша корпорація обирає число з множини {1,2}. Після цього друга корпорація обирає число з множини двох можливих {1,2}, знаючи, який вибір здійснила перша корпорація на першому ході. Третій хід робить перша корпорація: знаючи, який хід зробила друга корпорація, та пам’ятаючи про свій вибір на першому кроці, обирає число з множини {1,2}. На цьому гра завершується і розподіляються виграші: перший гравець виплачує другому певну суму, визначену функцією M(x,y,z), яка визначена наступним чином в залежності відвибору гравцями 1-го — 3-го ходів x,y, та z відповідно:

M(1,1,1)=-2; M(1,1,2)=-1; M(1,2,1)=3; M(1,2,2)=-4;

M(2,1,1)=5; M(2,1,2)=2; M(2,2,1)=2; M(2,2,2)=6.

Змістовна інтерпретація цієї гри є наступною:

Хід 1. 1-а корпорація здійснює вибір з двох альтернатив: x=1 — запропонувати 2-й побудувати на її території складальне виробництво комп’ютерів, x=2 — побудувати виробництво мікропроцесорів.

Хід 2. 2-а корпорація, знаючи, яку альтернативу обрала 1-а на першому ході, здійснює вибір з двох альтернатив: y=1 — будувати складальне виробництво та запропонувати це 1-й корпорації; y=2 — будувати виробництво мікропроцесорів та запропонувати це 1-й.

Хід 3. 1-а корпорація, знаючи вибір другої на другому ході та пам’ятаючи свій вибір на першому ході, здійснює вибір з двох альтернатив: z=1 — погодитися з пропозицією 2-ї, z=2 — не погодитися з пропозицією 2-ї.

Після того, як зроблені ходи, партія зіграна, і 1-а корпорація отримує суму M(x,y,z).

Для нормалізації цієї гри необхідно відтворити стратеґії 1-го та 2-го гравця.

Стратеґії 2-го гравця:

В₁ — обрати y=1 не зважаючи на вибір 1-го гравця на першому ході;

В₂ — обрати y=2 не зважаючи на вибір 1-го гравця на першому ході;

В₃ — погодитися з вибором 1-го гравця на першому ході, тобто обрати y=1, якщо x=1, і y=2, якщо x=2;

В₄ — не погодитися з вибором 1-го гравця на першому ході, тобто обрати y=2, якщо x=1, і y=1, якщо x=2.

Таким чином 2-й гравець має 4 стратеґії.

Стратеґії 1-го гравця будуються аналоґічно з врахуванням раніше зроблених виборів: вибір на першому кроці дає дві можливості, після вибору другого гравця з’являється чотири варіанти, і реалізація на третьому ході — 8 стратеґій дії для 1-го гравця. Таким чином стратеґію 1-го гравця зображатимемо за допомогою трійки (i,i₁,i₂) — де і — вибір 1-го гравця на 1-му ході; і₁— вибір 1-го гравця на третьому ході за умови, вибору на 2-му ході 2-м гравцем у=1; і₂ — вибір 1-го гравця на 3-му ході за умови, вибору 2-м на 2-му ході у=2.

Враховуючи відтворені стратеґії, будуємо матрицю цієї гри.

	B1	B2	B3	B4
A1 (1,1,1)	M(1,1,1)=-2	M(1,2,1)=3	M(1,1,1)=-2	M(1,2,1)=3
A2 (1,1,2)	M(1,1,1)=-2	M(1,2,2)=-4	M(1,1,1)=-2	M(1,2,2)=-4
A3 (1,2,1)	M(1,1,2)=-1	M(1,2,1)=3	M(1,1,2)=-1	M(1,2,1)=3
A4 (1,2,2)	M(1,1,2)=-1	M(1,2,2)=-4	M(1,1,2)=-1	M(1,2,2)=-4
A5 (2,1,1)	M(2,1,1)=5	M(2,2,1)=2	M(2,2,1)=2	M(2,1,1)=5
A6 (2,1,2)	M(2,1,1)=5	M(2,2,2)=6	M(2,2,2)=6	M(2,1,1)=5
A7 (2,2,1)	M(2,1,2)=2	M(2,2,1)=2	M(2,2,1)=2	M(2,1,2)=2
A8 (2,2,2)	M(2,1,2)=2	M(2,2,2)=6	M(2,2,1)=6	M(2,1,2)=2

Розв’язком гри є дві сідлові точки, ціна гри — 5.

Побудуємо дерево позиційної гри. В цьому дереві вузол позначатиме номер гравця, що робить хід, а дуга — його хід. Листя дерева відображатимуть виграші, а кожний шлях від кореня до листка — партію.

Для відображення необхідних даних про зроблені вибори при певних ходах гравців за умов їх різної інформованості на різних ходах на дереві позиційної гри пунктиром позначатимемо інформаційні множини вузлів.

Оскільки 1-й хід робить 1-й гравець, то корінь відповідатиме ходу 1-го гравця та позначається 1. 2-й гравець робить 2-й хід, а тому вузли наступного рівня позначені 2, і так як йому відомий вибір 1-го гравця на першому ході, то він, здійснюючи свій хід, в момент здійснення ходу знає точно, де він (на якій гілці дерева) знаходиться — а тому кожен вузол нижнього рівня утворює окрему інформаційну множину (внаслідок повного знання ходів кожен з вузлів дерева цієї гри є окремою інформаційною множиною).

Приклад 2. Порівняно з попереднім прикладом третій хід робить 1-й гравець, але вже не пам’ятаючи про те, який хід він зробив першим та не знаючи, який другий хід зробив другий гравець (1-го гравця можна уявити, як 2 особи, що знаходяться в окремих кімнатах та які не мають змоги обмінюватися інформацією). Відповідне дерево гри з інформаційними множинами наведене нижче.

Приведемо гру до нормальної форми. У 2-го гравця є 4 таких же стратеґії, як і в попередньому випадку. У 1-го гравця можливості зменшуються за рахунок недостачі інформації: оскільки він на 3-му ході не знає попередніх виборів, то його стратеґія складається з пари чисел (x,z), тобто обрати 1 або 2 на 1-му ході та 1 або 2 на 3-му ході. Відповідна матриця гри буде мати наступний вигляд.

	B1	B2	B3	B4
A1 (1,1)	M(1,1,1)=-2	M(1,2,1)=3	M(1,1,1)=-2	M(1,2,1)=3
A2 (1,2)	M(1,1,2)=-1	M(1,2,2)=-4	M(1,1,2)=-1	M(1,2,2)=-4
A3 (2,1)	M(2,1,1)=5	M(2,2,1)=2	M(2,2,1)=2	M(2,1,1)=5
A4 (2,2)	M(2,1,2)=2	M(2,2,2)=6	M(2,2,2)=6	M(2,1,2)=2

Отримана гра не має сідлової точки. Розв’язуючи гру в мішаних стратеґіях, отримаємо мішані стратеґії 1-го гравця — (0,0,4/7,3/7), 2-го гравця — (4/7,3/7,0,0), та ціна гри становитиме v=26/7. Таким чином, в загальному випадку втрата інформації зменшує ціну гри.