Тема 1.Теорія ігор
Основні поняття теорії ігор
Теорія ігор — це розділ дослідження операцій, що займається теорією математичних моделей прийняття оптимальних рішень в умовах конфлікту. При цьому застосовувані математичні моделі є достатньо спрощеними та ідеалізованими схемами реальних явищ.
Таким чином теорія ігор досліджує питання поведінки і виробляє оптимальні правила (стратеґії) поведінки для кожного з учасників конфліктної ситуації. Розв’язання суперечностей за допомогою теорії ігор можливе лише після проведення математичного моделювання ситуацій у вигляді гри.
Сучасний математичний підхід до зіткнення інтересів – теорію ігор – звичайно приписують фон Нойману, що виклав його у своїх статтях 1928 і 1937 рр., хоча в 1953 році Фреше вказав, що основи теорії ігор було намічено в деяких статтях Бореля на початку 20-х років. Хоча Борель дав ясне формулювання важливого класу теоретико-ігрових задач і ввів поняття чистих та мішаних стратегій, він, як зауважив фон Нойман, не отримав основного висновку – теореми про мінімакс, без якої не може бути жодної теорії ігор. Фон Нойман довів справедливість цієї теореми для загальних умов і, крім того, створив багату ідеями теорію ігор з числом гравців більше двох. На жаль, жодна з цих двох груп робіт не привернули до себе великої уваги при публікації, очевидно, тому, що статті були написані для математиків, а не для соціологів. Справжній інтерес до теорії ігор пробудила робота фон Неймана і Моргенштерна “Теорія ігор та економічна поведінка”, що вийшла в світ у 1944 році.
Наступному швидкому розвитку теорії ігор значною мірою сприяла друга світова війна. Під час війни було розгорнуто широку діяльність у напрямку наукового чи, щонайменше, систематичного підходу до таких задач, які раніше знаходилися виключно в компетенції “практиків”. Маються на увазі такі питання, як організація тилу, пошук підводних човнів, протиповітряна оборона і т.і. Теорія ігор є одним з найскладніших теоретичних обгрунтувань з тих, що з’явилися у цій області. Своїм надальшим розвитком теорія ігор завдячує таким відомим вченим, як Р. Данкан Льюс, Ховард Райфа, Ерве Мулен, Н. Н. Воробйов та ін.
Слід зазначити, що теорія ігор є насамперед математичною дисципліною. В основному це пояснюється тим, що початок їй поклав математик і викладена вона була як вельми формальна побудова, що зробило її доступною в якості знаряддя дослідження лише для математиків. Тим не менше, в наш час теорія ігор знаходить застосування в найрізноманітніших галузях науки і суспільного життя. Досить згадати хоча б той історичний факт, що серед соратників відомого американського ґанґстера Голанця Шульца (“ворога американського народу номер один”) знаходився німець-математик, завданням якого було максимальнне збільшення прибутків від ігрових притонів. Хроніка тих часів свідчить, що в результаті співпраці з представником науки Шульц почав отримувати відчутний прибуток не лише від респектабельних ігрових будинків, але й від примітивних вуличних ігор і лотерей. Втім, теорією ігор користуються також політики, економісти, військові, букмекери…
Одна з характерних рис будь-якого суспільного, соціально-економічного явища полягає у множинності, різнобічності інтересів, в наявності сторін, що мають відмінні інтереси та переслідують нетотожні цілі, або хоча б у наявності кількох різних активних точок зору стосовно явища та його результату. В цьому сенсі можна сказати, що будь-якому соціально-економічному явищу властиві риси конфлікту.
Слід зауважити, що кожна зацікавлена сторона повинна мати різні можливості діяти, задовольняти свої інтереси (вперше це твердження було сформульоване Вільямом Ешбі, і отримало назву “закону про необхідну різноманітність”). В іншому випадку, коли сторона має лише одну таку можливість, вона перестає відігравати роль сторони у процесі, що розглядається, і перетворюється на обставину, яка однозначним чином впливає на цей процес.
Отже, адекватна математична модель соціально-економічного явища повинна відображати властиві йому риси конфлікту: відмінність інтересів сторін – учасників конфлікту, а також різноманітність тих дій, які ці сторони можуть здійснювати для досягення своїх цілей. Це означає, що соціально-економічне явище при його математичному моделюванні повинно поряд з з іншими можливими представленнями припускати ще й представлення у вигляді конфлікту, тобто таке, в якому відображені наступні його компоненти:
а) зацікавлені сторони;
б) можливі дії кожної сторони;
в) інтереси сторін.
Розглянемо основні визначення теорії ігор.
Ситуація називається конфліктною, якщо в ній беруть участь сторони, інтереси яких повністю або частково протилежні.
Гра — це конфлікт, в якому наявні по щонайменше 2 учасники (гравці), кожний з яких прагне досягнення власних цілей.
Правила гри — це припустимі дії кожного з гравців, спрямовані на досягнення певної мети.
Кількісна оцінка результатів гри називається виплатою.
Описання вибору гравця в кожній з можливих ситуацій, при яких він повинен зробити хід, називається стратегією гри.
Стратегія гри називається оптимальною, якщо при багаторазовому повторенні гри вона забезпечує гравцеві максимально можливий середній виграш.
Таким чином, гра характеризується за допомогою системи правил, які описують сутність конфліктної ситуації:
кількість гравців;
вибір способу дій гравців на кожному з етапів гри;
інформацію, якою володіє кожен з гравців при здійсненні таких виборів;
виплату для кожного з гравців після завершення довільного етапу гри.
Приклади.
Розглянемо одну з найпримітивніших ігор – “орлянку”. Гравець 1 кладе монету на стіл, а гравець 2 вгадує, якою стороною – гербом чи цифрою – догори вона лежить. У випадку вгадування він отримує від гравця 1 одну одиницю виграшу, в іншому випадку сам виплачує йому одиницю.
Ця
гра – антагоністична. В ній множина
припустимих стратеґій кожного з гравців
,
а виграші одного (одночасно програші
іншого H(Г,Г)=H(Ц,Ц)=-1
і H(Ц,Г)=H(Г,Ц)=1,
або в матричній формі:
Родинна суперечка. Два економічні партнери (гравці 1 і 2) домовляються про сумісне проведення одної з дій, D1 або D2, кожна з яких вимагає спільної участі двох партнерів.
У випадку сумісного проведення дії D1 гравець 1 отримує одну одиницю корисності, а гравець 2 – дві одиниці. Навпаки, у випадку сумісного проведення D2 гравець 1 отримує дві одиниці, а гравець 2 – лише одну. Нарешті, якщо гравці виконують різні дії, то виграш кожного з них дорівнює нулю.
В даному випадку ми маємо справу з біматричною грою з матрицями виграшів:
У багатьох роботах з теорії ігор цю гру інтерпретують як одночасний вибір подружжям вечірньої розваги: відвідування змагань з боксу або ж балету, причому у відвідуванні боксу чоловік зацікавлений в більшій мірі, ніж дружина, при відвідуванні балету спостерігається зворотня картина, а у випадку невизначеної розбіжності вечір взагалі виявляється зіпсутим. Внаслідок такої інтерпретації гра часто називається “родинною суперечкою”.
Військова справа. Американський вчений Хейвуд дослідив зв’язок між доктриною військових рішень і теорією ігор двох осіб з нульовою сумою. Як ілюстрацію своїх досліджень Хейвуд наводить приклад, взятий з другої світової війни – битву в Ново-Ґвінейському морі.
В критичні дні боротьби за Нову Ґвінею розвідка повідомила, що японці збираються послати конвой з військами та провіантом з порту Ребаул (східне узбережжя Нової Британії) в Лае (Нова Гвінея, на захід від Нової Британії). Він міг пройти або північніше від Нової Британії, де очікувалася погана погода, або південніше від Нової Британії, де погода очікувалась ясна; в обох випадках подорож тривала би три дні. Генерал Кенней міг обрати зосередження основних сил своєї розвідувальної авіації або на одному, або на іншому шляху. Після виявлення конвою його можна було бомбити до прибуття в Лае. Штаб Кеннея визначив результати для різних варіантів вибору в днях бомбардувального часу наступним чином:
Стратегії японців:
Стратегії Кеннея:
Не заглиблюючись на даному етапі в пояснення щодо розв’язання цієї задачі, відзначимо лише, що японський конвой було виявлено приблизно через день після його виходу в море, і японці зазнали важких втрат.
Теніс — це гра двох осіб, в якій програш одного з гравців є виграшем іншого, а ціною гри є кількість очок, що її отримує гравець, абор умови проходження в наступний тур.
Футбол — це гра, в якій одна проти одної виступають коаліції — дві команди по 11 гравців в кожній — в принципі за певних умов цю гру можна розглядати як гру двох осіб.
Шахи — можливі три результати – 0.5, 1 або 0 очок.
3 фірми діють на ринку, причому ні одна з них не має повного контролю. В цьому випадку, якщо кожен з гравців діє самостійно, це є гра трьох осіб, якщо ж двоє з гравців вирішують об’єднатися — то це є гра двох осіб.
Виграш в грі є мірою ефекту для гравця, в теорії ігор виграш оцінюється кількісно. Виграш гравця залежить як від його стратегії, так і від стратегії інших осіб. В іграх з нульовою сумою програш дорівнює сумі виграшів, тому гра є антагоністичною.
Завдання дослідника конфліктної ситуації полягає в приведенні її з мінімальними втратами до формальної гри.
Основними принципами, що використовуються при пошуку розв’язків ігор, є принципи оптимальності та рівноваги.