Задачі про потоки в мережах Поняття потоку. Теорема Форда-Фалкерсона

В теорії оптимізації та теорії графів, задача про максимальний потік полягає у знаходженні такого потоку за транспортною мережею, щоб сума потоків з витоку, або, що означає те ж саме, сума потоків до стоку була максимальна.

Задача про максимальний потік є окремим випадком більш складних задач, таких, як, наприклад, задача про циркуляцію.

Водночас спеціальна структура окремих класів потокових задач дозволяє побудувати ефективні алгоритми їх розв’язування.

Будемо розглядати мережу як двійку, де - множина вузлів, що зв’язані між собою дугами з множини . Якщо дуги є спрямованими, то мережа — орієнтована. Мережу називатимемо зв’язною, якщо для довільного розбиття множини вузлів мережі на дві підмножини та ( ) знайдеться щонайменше одна дуга , така що та або та .

В потокових задачах розглядаються лише зв’язні мережі. Розв’язання потокової задачі полягає в знаходженні таких значень функції потоку для всіх дуг мережі, що протікає від джерела до витоку мережі і забезпечує екстремальне значення функції мети. Джерело — це вузол мережі, в який може втікати потік з зовнішнього середовища. Витік — це вузол мережі, з якого потік може витікати в зовнішнє середовище.

Потоком в орієнтованій мережі називається цілочисельна функція , визначена на множині дуг мережі, для якої виконуються наступні умови:

1. 

2. 

3. 

де — множина всіх вузлів, що зв’язані безпосередньо з вузлом дугами, спрямованими до нього; — множина всіх вузлів, що зв’язані безпосередньо з вузлом дугами, що спрямовані віднього; — пропускна здатність дуги .

Таким чином функція потоку визначена на кожній дузі мережі, є невід’ємною, значення якої не перевищує пропускної здатності дуг. Умова 2 є умовою збереження потоку — який потік втікає в будь-який проміжний вузол мережі, такий і витікає.

розрізом називається розбиття множини вузлів мережі на дві підмножини та такі, що та . Пропускна здатність розрізу дорівнює , тобто є сумою пропускних здатностей “прямих” дуг, що йдуть з вершин множини до вершин множини .

Максимальний потік в мережі визначається за допомогою пропускних здатностей розрізів мережі. Звичайно, величина максимального потоку не повинна перевищувати величину пропускної здатності розрізу. Вимога орієнтованості мережі не є обмежуючою, тому що завжди неорієнтовану дугу з пропускною здатністю можна замінити парою протилежно спрямованих орієнтованих дуг, кожна з яких матиме пропускну здатність . Наступна теорема є теоремою про максимальний потік в мережі.

Теорема Форда-Фалкерсона.

Величина потоку з джерела до витоку в орієнтованій мережі не перевищує пропускної здатності будь-якого розрізу. Величина максимального потоку дорівнює пропускній здатності мінімального розрізу, тобто і потік , і розріз одночасно оптимальні в тому і лише в тому випадку, якщо

для всіх дуг , таких що та

для всіх дуг , таких що .

Нехай — розріз, такий що та , якщо знайдеться таке , для якого або .

Такий розріз будується за допомогою наступної процедури:

• визначаємо множину ;

• якщо для якогось знайдеться таке , , що або , то включаємо в ;

• включення повторюємо до моменту, поки неможливо буде розширити далі.

В результаті , так як в іншому випадку існував би збільшуючий (ауґментальний) шлях з в , що суперечить припущенню про те, що потік максимальний.