Экономико-математическая модель

х₁ – суточный объем выпуска сливочного мороженого, кг;

х₂ – суточный объем выпуска шоколадного мороженого, кг.

Максимизировать F(х₁, х₂) = 160х₁+168х₂, руб. при выполнении ограничений:

1) по молоку, кг

0,8х₁ + 0,5х₂400;

2) по наполнителям, кг

0,4х₁ + 0,8х₂365;

3) по спросу на сливочное мороженое

х₁ /х₂2,

х₁2х₂,

х₁–2х₂0;

4) по спросу на шоколадное мороженое, кг

х₂ 350;

5) условие не отрицательности переменных х₁0, х20.

Решение:

Определим для каждой прямой координаты двух точек:

0,8х₁ +0,5х₂= 400 x₁= 0 х₂ = 800,

х₂ = 0 x₁ = 500.

0,4x₁+ 0,8x₂ = 365 x₁ = 0 x₂ = 456,25,

x₂= О x₁ = 912,5.

x₁ – 2x₂ = 0 x₁ =0 x₂ =0

x₂= 100 x₁ =200.

x₂= 350

В системе координат построим прямые, соответствующие ограничениям задачи. Определим для каждого неравенства полуплоскость (рис.1).

Рисунок 1 – Графическое решение задачи

Определим область допустимых решений (ОДР) как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделим ее (рис. 1).

Построим целевую прямую F(х₁, х₂)=160х₁+168х₂=0, проходящую через начало координат (рис. 1).

Перпендикулярно целевой прямой построим вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания целевой функции. Вектор выходит из точки (0;0) и проходит через точку ^(с1;с2) (рис. 1).

Перемещая целевую прямую в направлении вектора, находим точку из ОДР, которая в последнюю очередь соприкасается с целевой прямой. В этой точке целевая функция принимает максимальное значение (рис. 1).

Определим прямые, на пересечении которых лежит эта точка, и решим систему уравнений:

0 ,8 х₁ + 0,5 x₂= 400,

0,4 х₁ + 0,8 x₂= 365.

Решением системы будет х₁=312,5 и x₂=300. Подставив значения переменных в целевую функцию, получим значение равное 100400.

Таким образом, для достижения максимальной эффективности производства фирма должна выпускать в сутки 312,5 кг сливочного мороженого и 300 кг шоколадного, при этом доход от реализации составит 100400 руб.

Задания для самостоятельного решения

1. На основании заданных параметров производственной ситуации составить экономико-математическую модель ЗЛП и представить графическое решение задач.

Задача 1

Найти оптимальные размеры производства двух видов продукции (томатов консервированных и томатного сока) в цехе с мощностью оборудования 50 банок продукции в час.

Объем перерабатываемого сырья при этом не должен превышать 45 кг.

Удельные затраты ресурсов на банку консервированных томатов 0,6 кг томатов и 18 руб. денежных средств, 1,6 кг и 29 руб. денежных средств на 1 банку томатного сока.

Сумма денежных затрат не более 1000 руб.

Критерий оптимальности решаемой задачи – максимум выручки.

Цены реализации продукции первого вида 36 руб. за банку, второго вида 48 рублей.

Задача 2

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 300 руб., а улучшенный – 400 руб.

Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективной питание почвы и минимизировать стоимость?

Задача 3

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Вид корма	Ежедневное количество корма усл. ед.		Общее количество корма, усл.ед.
	Лисица	Песец
1	2	3		180
2	4	1		240
3	6	7		426
Прибыль от реализации одной шкурки, руб.	16	12

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

Задача 4

Мебельная фабрика выпускает книжные полки и шкафы. Их производство ограничено наличием необходимых ресурсов (древесно- стружечных плит (ДСП), высококачественных досок (ВД), и стекла). Нормы затрат ресурсов на единицу продукции, запасы ресурсов и прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице. Требуется составить производственный план выпуска продукции с учетом имеющихся ресурсов, который обеспечивал бы наибольшую прибыль.

Виды ресурсов	Виды продукции		Запасы ресурсов
	Полки	Шкафы
ДСП	3	2	27
ВД	2	4	28
Стекло	2	3	23
Прибыль	4	7

Задача 5

Каждому животному нужно ежедневно выдать не менее 6 единиц белков, 8 единиц жиров и 12 единиц углеводов. Есть два вида корма. Одна единица первого корма содержит 21 единицу белка, 2 единицы жира. 4 единицы углеводов и стоит 3 руб. Для второго корма соответствующие цифры следующие: 3, 2, 2 и 2. Найдите оптимальный рацион питания.

Задача 6

Пошивочная мастерская планирует выпуск двух видов костюмов: мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм – 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти и 240 м лавсана. 150 человеко-дней трудозатрат. Предусматривается выпуск не менее 110 костюмов, причем необходимо обеспечить прибыль не менее 1400 руб. Определите оптимальное количество костюмов каждого вида, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 руб., а мужского – 20 руб.

Задача 7

Составьте оптимальный план производства продукции, чтобы стоимость всего объема произведенного была максимальной, если: цена 1 единицы каждой продукции по 20 денежных единиц. На каждую единицу первой продукции расходуется 2 единицы сырья; 4 единицы материалов и 1 человеко-день: второй продукции – соответственно, 2, 3 и 3. Общие объемы ресурсов:

1. фонд рабочего времени – 12;

2. фонд сырья – 16;

3. фонд материалов – 9;

4. цена 1 единицы сырья –1 денежная единица;

5. цена материалов – 3 денежных единицы.

Задача 8

Составьте оптимальный план производства, чтобы стоимость всей продукции была максимальной, если:

Продукция	Стоимость 1 ед.продукции	Норма расходов ресурсов
		Трудовых	Сырьевых	Материалов
1	40	6	8	6
2	30	5	7	5

Общие объемы ресурсов:

1. трудовых – 48;

2. сырьевых – 56;

3. материалов – 72;

4. цена одной единицы сырья – 2 денежные единицы;

5. материалов – 1,5 денежные единицы.

Проанализируйте составленный оптимальный план: как можно увеличить стоимость всей продукции, если исходить из возможности свободно распоряжаться ресурсами.

2. На основании заданных параметров производственной ситуации представить графическое решение задач.

F(x) = 4x1+6x2 min 3x1 + x2 9 x1+2 x28 x1+6 x212 x10 x20

F(x) = 4x1+6x2 max x1 +4x2 8 x14 2x25 x10 x20