Лабораторная работа № 2 Математическая формализация социально-экономических процессов и графический метод решения задач линейного программирования

Цель: освоение методов оптимизации производственных процессов.

Задачи: На основании заданных параметров производственных ситуаций решить экономико-математические модели задач графическим методом.

Теоретический материал

Линейное программирование

В случае, когда оптимизируемая целевая функция (1) и ограничения (2) линейны, задача оптимизации решается методами линейного программирования и обычно называется задачей линейного программирования. Задача линейного программирования заключается в нахождении r переменных х₁, х₂,….,х_r минимизирующих данную линейную функцию (целевую функцию):

Z = f(х₁, х₂,….,х_r) = с₁х₁ + с₂х₂ + ... + с_r,х_r (3)

(или максимизирующую – Z) при линейных ограничениях-равенствах:

a_i1x₁+a_i2x₂+…..+a_irx_r=A_i, где i=1,2,….n (4)

и линейных ограничениях-неравенствах:

A_i1x₁+A_i2x₂+…..+A_irx_r  B_i, где i=1,2,….m (5)

Часто задачу линейного программирования (3-5) сводят путем введения в случае необходимости вспомогательных переменных к стандартной форме (основной задаче линейного программирования). При этом требуется минимизировать целевую функцию:

Z =f(х₁, х₂,….,х_n) = с₁х₁ + с₂х₂ + ... + с_n,х_n (6)

при т < п линейных ограничениях-равенствах

a_i1x₁+a_i2x₂+…..+a_inx_n=b_i, где i=1,2,….m (7)

и п линейных ограничениях-неравенствах

х_k  0, где k= 1,2,…n (8)

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования является упорядоченное множество чисел (х₁, х₂, ..., х_n), удовлетворяющих ограничениям (7) и (8). Это точка в n-мерном пространстве. Допустимое решение, минимизирующее целевую функцию (6), называется оптимальным решением (оптимальным планом).

Чаще всего оптимальное решение, если оно существует, является и единственным. Однако возможны случаи, когда оптимальных решений бесчисленное множество.

Процесс решения задачи линейного программирования обычно состоит из ряда этапов:

1-й этап: осмысление задачи, выделение наиболее важных качеств, свойств, ве­личин, параметров. Это можно делать, составляя схемы, таблицы, графики и т.п.;

2-й этап: введение обозначений (неизвестных). Желательно ограничиваться как можно меньшим количеством неизвестных, выражая по возможности одни величины через другие;

3-й этап: создание целевой функции. Обычно в качестве цели могут выступать максимальная стоимость всего объема продукции, максимальная прибыль, минимальные затраты и т. п. Целевая функция записывается в виде (3) или (6).

4-й этап: составление системы ограничений, которым должны удовлетворять введенные величины (4), (5) или (7), (8).

5-й этап: решение задачи на компьютере.

Ход работы

1. На основании заданных параметров производственной ситуации составить экономико-математическую модель ЗЛП.

2. В системе координат построить прямые, соответствующие ограничениям задачи. Определить для каждого неравенства полуплоскость.

3. Определить область допустимых решений.

4. Построить целевую прямую, проходящую через начало координат

5. Построить вектор-градиент, который начинается в точке (0;0), заканчивается в точке ^(с1;с2)

6. Определить оптимальную точку.

7. Определить координаты оптимальной точки.

8. Найти экстремальное значение целевой функции

9. Сформулировать оптимальный план

Пример - максимизация целевой функции

Фирма производит два вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг готового продукта и их суточные запасы приведены в таблице.

Суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем в 2 раза. Кроме того, известно, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 160 руб., шоколадного – 168 руб.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого		Запас, кг
	Сливочное	Шоколадное
Молоко	0,8	0,5	400
Наполнители	0,4	0,8	365

Определить в каком количестве мороженого каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.