18.3. Классификация методов численного интегрирования дифференциальных уравнений математической модели системы электропривода

Существуют два метода анализа.

1.метод уравнений состояний;

2.метод структурного моделирования.

При моделировании используются различные методы численного интегрирования, являющиеся приближенными.

Различают следующие классификационные признаки, по которым производят деление методов численного интегрирования на группы.

1. по погрешности интегрирования и быстродействию;

2. по типу метода;

3. по изменению шага интегрирования.

Классификация методов численного интегрирования дифференциальных уравнений по типу метода позволяет разделить их на 2 группы.

1. Параллельные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений.

2. Последовательные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Наиболее распространены параллельные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Классификация методов численного интегрирования дифференциальных уравнений (МЧИДУ) по изменению шага интегрирования позволяет разделить их на 2 группы.

1. Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений с постоянным шагом интегрирования , например метод Эйлера.

2. Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений с переменным шагом интегрирования , например метод Адамса.

Распространены обе группы методов ЧИДУ. Второй метод ЧИДУ применяется в современных программных пакетах, реализующих структурное моделирование, например, Matlab (специальные метод с переменным шагом интегрирования). Если переменная состояния изменяется с небольшим градиентом, то используется шаг большего размера, а при быстрых изменениях переменной состояния величина шага уменьшается, т.е. величина шага зависит от градиента переменной состояния обратно пропорционально.

Классификация параллельных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений (методы с постоянным шагом) по погрешности интегрирования позволяет разделить их на несколько групп.

1. Метод Эйлера- метод 1-го порядка точности.

2. Усовершенствованный метод Эйлера- метод 2-го порядка точности.

3. Метод Эйлера- Коши –это метод 2-го порядка точности.

4. Метод Рунге-Кутта – это метод 4-го порядка точности.

Однако, чем выше точность метода ЧИДУ, тем меньше быстродействие, т.е. тем больше времени потребуется для процесса численного интегрирования. Самый быстрый метод ЧИДУ – это метод Эйлера.

18.4. Численное интегрирование дифференциальных уравнений математической модели системы электропривода методом Эйлера

Численное интегрирование уравнений состояния по методу Эйлера рассмотрим на примере уравнения состояния для механической части СЭП.

Из курса высшей математики известно, что

. (9)

С учетом выражения (9) запишем уравнение (7) в дискретной форме и используем понятия, связанные с конечными разностями.

. (10)

Первая прямая разность угловой скорости равна . (11)

Из уравнения (11) следует, что решение дифференциального уравнения (6) будет равно . (12)

Угловую скорость с учетом уравнений (10) и (11) вычисляют по следующей формуле.

. (13)

Уравнения (10) - (13) определяют суть метода Эйлера при численном интегрировании дифференциального уравнения математической модели системы электропривода.

Аналогично выполняется численное интегрирование дифференциального уравнения при вычислении тока при использовании выражения (6).

Шаг интегрирования устанавливается равным в соответствии с теоремой Котельникова-Шеннона.

, (14)

где – максимальная частота спектра сигнала в системе электропривода.

На этапе проектирования СЭП величину определить достаточно сложно. Поэтому, предлагается методика расчета шага интегрирования по эмпирической формуле.

, (15)

где - минимальная постоянная времени СЭП.

Уменьшая величину шага интегрирования , можно снизить погрешность интегрирования, но при этом увеличивается время численного интегрирования дифференциальных уравнений, что в настоящее время не является критичным, т.к. при высоком быстродействии современных вычислительных машин легко преодолевается этот недостаток.

В стандартных программных пакетах, как правило, используется метод Рунге-Кутта, являющийся методом 4-го порядка точности.

18.5. Численное интегрирование дифференциальных уравнений математической модели системы электропривода методом А. В. Башарина

Метод А. В. Башарина относится к последовательным методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (с постоянным шагом). Рассмотрим реализацию метода А. В. Башарина применительно к математической модели системы электропривода, приведенной на рис. 2.

Уравнения состояния этой модели представлены в виде выражений (6) и (7).

.

.

Решение уравнений (6) и (7) с использованием метода Эйлера для произвольного на « » шага интегрирования выглядит так.

. (16)

. (17)

При переходе к записи решения по методу А. В. Башарина в уравнении (16) ничего не изменяется. В уравнении (17) при записи по методу А. В. Башарина необходимо заменить выражением , учитывающим более точное значение переменной состояния.

. (18)

. (19)