Глава 18. Математические модели систем электропривода и методы их анализа

18.1. Общие представления о математических моделях систем электропривода

Среди видов математического обеспечения САПР ЭП имеются математические модели элементов электропривода и математические модели систем электропривода.

Существуют следующие формы представления математических моделей:

1. форма уравнений состояния;

2. форма структурных схем;

3. форма передаточной функции.

При разработке математической модели системы электропривода в первую очередь рассматривается функциональная схема системы и математические модели элементов электропривода. Примерная функциональная схема системы электропривода приведена на рис. 1.

Рис. 1. Функциональная схема системы электропривода с регуляторами положения, скорости и тока

Математическая модель системы ЭП, записанная в первой форме, представляет систему алгебраических и дифференциальных уравнений. Провести анализ такой математической модели системы ЭП – это значит решить эту систему алгебраических и дифференциальных уравнений. Общим методом решения систем дифференциальных уравнений является метод интегрирования этих дифференциальных уравнений.

Различают следующие методы интегрирования систем дифференциальных уравнений.

1. Аналитические методы.

2. Графические методы.

3. Графо – аналитические методы.

4. Численные методы.

В настоящее время графические и графо – аналитические методы практически не применяются. Аналитические методы используются при выполнении исследований с целью проведения анализа и получения общих выводов при решении теоретических задач. Численные методы применяются при решении большинства прикладных задач.

На рис. 2 приведена структурная схема системы электропривода с регулятором скорости.

Рис. 2. Структурная схема системы электропривода с регулятором скорости

18.2. Пример математической модели системы электропривода

Для моделирования СЭП с применением структурной схемы (см. рис. 2.) используется структурный метод.

Различают реализацию структурного метода моделирования в стандартном варианте и нестандартном. Стандартный вариант предполагает использование современных программных пакетов, реализующих структурное моделирование. В нестандартном варианте используются классические традиционные программы по методу структурного моделирования, требующие подготовки рабочих подпрограмм, в которых обозначается связь между элементами структурной схемы. Оба варианта применимы к любым линейным и нелинейным системам управления.

Уравнения математической модели системы электропривода составляются на основе структурной схемы (см. рис. 2.).

Входное напряжение регулятора скорости (см. рис. 2) представляет собой ошибку регулирования и определяется как разность напряжений задания и датчика скорости.

. (1)

Выходной сигнал пропорционального регулятора скорости системы электропривода (СЭП) является напряжением управления силового преобразователя и вычисляется как произведение на коэффициент передачи регулятора.

. (2)

Силовой преобразователь (СП) на рис. 2 является безинерционным звеном и его выходное напряжение рассчитывается по выражению

. (3)

Уравнение для цепи якоря ЭД составлено по 2-му закону Кирхгофа.

. (4)

Уравнение состояния механической части СЭП запишем в форме равнения движения.

. (5)

Уравнения (4) и (5) преобразуем и после преобразования запишем в нормальной форме.

. (6)

. (7)

Для моделирования СЭП по уравнениям (1)-(3), (6) и (7) используется метод моделирования по уравнениям состояния.

Различают реализацию метода моделирования по уравнениям состояния в стандартном варианте и нестандартном. Стандартный вариант предполагает использование готовых программных пакетов, в которых реализуются современные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, и создаваемой пользователем рабочей подпрограммы, в которой запрограммированы уравнения СЭП, т.е. применительно к рис. 2. уравнения (1)-(3), (6) и (7) и нелинейная характеристика СП. В нестандартном варианте пользователь практически полностью программирует решение задачи моделирования СЭП по уравнениям состояния без обращения к рабочей подпрограмме. Оба варианта применимы к любым линейным и нелинейным системам управления.

Рис. 3. Характеристика управления СП, представленная по методу кусочно-линейной аппроксимации

Нелинейная характеристика управления СП имеет 2 участка.

Уравнение первого участка соответствует пределам изменения напряжения управления от 0 до . На втором участке характеристики управления СП напряжение на выходе не изменяется, т.е. при изменении .

Для нелинейной характеристики управления СП, представленной на рис. 4, уравнение первого участка определяется функцией синуса (см. уравнение (8), а на втором участке напряжение на выходе СП остается постоянным .

, (8)

где - фазовый коэффициент.

Рис. 4. Характеристика управления СП