17.5. Анализ дискретной модели пид - регулятора
Анализ уравнения дискретной модели ПИД - регулятора показывает, что для ее реализации на каждом интервале дискретности требуется три значения входной величины (т.е. ошибки управления):
в текущем интервале квантования;
в
предыдущем интервале;
в
еще более раннем интервале дискретности.
Также
требуется хранить предыдущее значение
выходной величины
.
17.6. Структурная схема алгоритма программной реализации цифрового пид - регулятора
Уравнениям (15) и (16) соответствует структурная схема модели, приведенная на рис. 3.
Представление модели в виде структурной схемы облегчает процесс программирования, т.е. создания управляющих программ для микропроцессорных систем, начинающийся с разработки алгоритма программы. На схеме наглядно видно, что требуется сделать с исходными сигналами, чтобы получить выходной сигнал. По этой модели каждую составляющую можно изменить независимо от других, и в этом ее преимущество.
В модели по формулам (15) и (16) регулирование пропорциональной, интегральной и дифференциальной частей взаимосвязано, и это является недостатком данного рекуррентного соотношения, хотя оно представляет собой наиболее простую из всех известных математических моделей регулятора.
Рис. 3. Структурная схема модели цифрового ПИД-регулятора
В ранее рассмотренных моделях интегральная и дифференциальная составляющие определяются приближенно по сравнению с моделью в аналоговой форме. Более точная дискретная модель в отношении интегральной составляющей выглядит в виде следующего уравнения:
. (17)
Если
в уравнении (17) “раскрыть” сумму
,
то получим:
(18)
Как следует из уравнения (18) приращение интегральной составляющей при переходе с (К-1) шага квантования на К шаг для такой модели составляет
(19)
и по сравнению с ранее рассмотренной моделью требует знания входной величины (ошибки) уже для двух интервалов дискретности ( и ).
Рекуррентное соотношение для выходного напряжения при этом варианте представления интегральной составляющей выглядит так:
(20)
После преобразования уравнения (20)получим уравнение (21).
(21)
В литературе [6] приведен еще один способ получения дискретной модели ПИД-регулятора. Для этого исходное аналоговое уравнение
. (22)
дифференцируют для исключения интеграла и заменяют вторую производную второй разностью. После дифференцирования получим уравнение (23).
. (23)
(24)
Из уравнения (24) находим выходной сигнал регулятора по формуле (25).
(25)
Наибольшие сложности при составлении дискретных моделей регулятора, как стало ясно из предыдущего анализа, проявляются для интегральной составляющей.
В практике управления нашли применение модели, в которых рекуррентные соотношения использовались не для всего выходного сигнала регулятора, а только для его интегральной составляющей. Это позволяет реализовать суммирование при определении интегральной части простыми средствами. Рассмотрим указанный метод и с этой целью введем следующие обозначения:
-пропорциональная часть на
- шаге квантования;
- интегральная часть на
- шаге дискретности;
- интегральная часть на
шаге квантования;
- приращение интегральной части на
- шаге дискретности;
- дифференциальная часть на
- шаге дискретности.
Тогда
, (26)
. (27)
На первом шаге Iк-1 принимается равной нулю. Подставим выражение (27) в уравнение (26).
. (28)
где
; (29)
. (30)
Интегральная составляющая на любом шаге определяется по формуле (27). На первом шаге обычно принимают
.
Тогда
.
Для
«
»
шага
.
Приращение интегральной составляющей для ”дискретной модели интеграла” в виде
(31)
равно
. (32)
Для “уточненной модели интеграла”
приращение
. (33)
Структурная схема модели, соответствующая уравнениям (26 - 33), приведена на рис. 5.
Структурная схема модели, соответствующая уточненному уравнению (32) для нахождения , представлена на рис. 6.
Рис. 5. Структурная схема первой уточненной модели цифрового ПИД-регулятора
Рис. 6. Структурная схема второй уточненной модели цифрового ПИД-регулятора