Глава 17. Математические модели цифровых регуляторов в системе электропривода

17.1. Математическая модель аналоговых регуляторов в системе электропривода

Математическая модель регулятора в дискретной форме разрабатывается на основе математической модели регулятора в аналоговой форме.

. (1)

. (2)

где и - сигналы задания и отрицательной обратной связи;

- входной сигнал вычислителя регулятора;

- коэффициент передачи пропорциональной части регулятора;

- постоянная времени интегрирующей части;

- постоянная времени дифференцирующей части.

- выходной сигнал регулятора.

17.2. Дискретные сигналы

Уравнения для ПИД - регулятора в дискретной форме можно вывести из формул (1) и (2), если использовать такие понятия как квантование во времени, первая обратная разность, сумма решетчатых функций.

Рис. 1. Дискретизация аналоговых сигналов

С этой целью ось времени разобьем на бесконечно большое число отрезков, равных шагу дискретности .

Тогда произвольный момент времени запишется как

,

где - номер шага дискретности.

При реализации модели ПИД - регулятора в дискретной форме ось времени разбивается на отрезки (шаги квантования).

Рис. 2. Шаги квантования

1; 2; 3;……….. ; ; – это номера участков квантования (шаги дискретности).

17.3. Уравнения пид - регулятора в дискретной форме

Запишем сигналы задания и отрицательной обратной связи в произвольный момент времени в дискретной форме.

. (3)

. (4)

С учетом этого определим входной и выходной сигналы в произвольный момент времени в дискретной форме и получим

. (5)

. (6)

. (7)

Подставив и , представленные в выражениях (6) и (7) в уравнение (2), получим уравнение вычислителя ПИД -регулятора в дискретной форме, позволяющее определить напряжение на выходе регулятора для « » шага квантования.

(8)

. (9)

Полученная математическая модель (выражение (9) может применяться в микропроцессорных системах (МПС), но потребует при реализации суммы значительный объем памяти для хранения всех предыдущих дискретных значений и будет характеризоваться большим временем при вычислении суммы для больших . Поэтому практически в МПС используется модель на основе рекуррентных соотношений для выходного напряжения регулятора.

17.4. Рекуррентные уравнения пид – регулятора

С этой целью по аналогии с выражением составим выражение для в предыдущий ( ) шаг квантования:

.(10)

После вычитания выражения (10) из выражения (9) получим:

. (11)

В уравнении (11) приращение интегральной составляющей равно:

. (12)

Изменение дифференциальной составляющей определяется по выражению

. (13)

Значение на первом шаге квантования принимается равным нулю.

Выражение для определения принято называть рекуррентным, то есть позволяющим вычислять выходное напряжение на текущем шаге по его значению в предыдущий шаг дискретности.

.

Для того, чтобы исключить дифференциальную или интегральную составляющие из выходного сигнала, необходимо изменить коэффициенты в уравнении. Например, для исключения дифференциальной составляющей требуется ТД приравнять нулю. Тогда получим уравнение для ПИ-регулятора.

Для того, чтобы исключить дифференциальную или интегральную составляющие из выходного сигнала, необходимо изменить коэффициенты в уравнении. Например, для исключения дифференциальной составляющей требуется приравнять нулю. Тогда получим уравнение для ПИ-регулятора.

. (14)

Дискретная модель ПИД -регулятора во временной области представляет собой алгебраические уравнения. Эта модель относительно легко реализуется в МПС.

Если обозначить постоянные коэффициенты в уравнении как , и , то получим более компактную запись дискретной модели регулятора:

. (15)

. (16)

где ;

;

.

Эта модель относительно легко реализуется в МПС.