13.8. Особенности, свойства и преобразования «обобщенного» вектора и уравнений с «обобщенным» вектором

Е сли вектор тока представлен в неподвижной системе координат « », то переход к новой системе координат « », развернутой относительно исходной на некоторый угол осуществляется из соотношения аргументов комплексных чисел. Новая система координат «x-y» может вращаться с постоянной скоростью .

Рис. 10. Вектор обобщенного тока в двух системах координат

. (50)

. (51)

. (52)

При этом следует заметить, что на угол не накладывается никаких ограничений, т.е. он может иметь постоянное значение, но может также изменяться произвольным образом. Обобщенный вектор можно представить также во вращающейся системе координат ( ). Для системы координат ( ), вращающейся с постоянной угловой частотой угол равен .

Преобразование координат можно осуществить не только от неподвижной системы к вращающейся, но и для двух систем координат, вращающихся с различными угловыми частотами.

Рис. 11. Вектор обобщенного тока в трех системах координат, две из которых вращаются

Пусть вектор представлен в системе координат « », текущий угол которой относительно неподвижных координат составляет . Тогда из соотношений углов преобразование координат можно записать в виде

. (53)

. (54)

13.9. Представление «обобщенного» вектора на комплексной плоскости

Обобщенный вектор, как и любой вектор на комплексной плоскости, можно представить алгебраической формой записи комплексного числа.

Обычно это делают, совмещая вещественную ось с осью обмотки в фазе «А».

Тогда . (55)

. (56)

. (57)

Подставляя в выражение для ( ) значения операторов поворота и , записанные в алгебраической форме, и разделяя вещественную и мнимую части получим

. (58)

. (59)

Переход от представления обобщенного вектора через проекции на оси трехфазных обмоток к представлению через проекции на оси комплексной плоскости эквивалентен преобразованию трехфазной системы обмоток в эквивалентную двухфазную.

В матричной форме преобразование от трехфазной системы обмоток к эквивалентной двухфазной можно записать в виде

. (60)

Обратное преобразование координат обобщенного вектора от проекций на оси комплексной плоскости к представлению через проекции трехфазных обмоток осуществляется по следующей матричной формуле

. (61)

13.10. Преобразование «обобщенного» вектора на комплексной плоскости в разных системах координат

В соответствии с выражением (51) преобразование обобщенного вектора , записанного в системе координат « », в вектор , записанной в системе координат « », сдвинутой на угол « » относительно системы координат « », можно представить в развернутом виде следующим образом:

.

Раскрывая скобки и преобразуя полученное алгебраическое выражение, получим:

. (62)

Приравнивая действительные и мнимые части в правой и левой частях выражения (62), получим:

. (63)

. (64)

Можно также найти составляющие вектора и в матричной форме.

. (65)

Обратное преобразование для определения проекций в системе координат « » по известным проекциям в системе координат « » производится по следующей матричной формуле.

. (66)

Обратное преобразование координат в развернутом виде выглядит в следующем виде.

. (67)

. (68)