13.3. Основы разработки математической модели ад (современный подход)

Фазные напряжения, приложенные к цепи статора АД, равны

; ; .

Рис. 4. Фазные напряжения, приложенные к цепи статора АД

Современный вариант разработки математической модели АД использует понятие «обобщенной» электрической машины. При разработке математической модели «обобщенной» электрической машины также используют понятие «обобщенного» вектора электрических или магнитных величин.

Рис. 5. Вектора электрических и магнитных величин трехфазного АД

Рис. 6. Составные части для построения обобщенного вектора

Синусоидальность распределения магнитодвижущих сил (МДС) асинхронного двигателя позволяет представить МДС или пропорциональные им токи (i) обобщенным пространственным вектором на комплексной плоскости, т.е. вектором, представляющим собой геометрическую сумму отрезков, построенных на пространственных осях фазных обмоток и соответствующих мгновенным значениям фазных МДС или токов.

При этом проекции обобщенного вектора тока на оси фазных обмоток в любой момент времени будут соответствовать мгновенным значениям этих токов.

При симметричной трехфазной системе обмоток обобщенный вектор тока статора ( ) можно представить в виде

,

где или - оператор поворота на 120⁰.

.

.

.

Мгновенные значения фазных токов являются проекциями вектора на оси обмоток статора. Обобщенный вектор вращается относительно неподвижного статора с угловой частотой поля , которая измеряется в рад/с.

- частота питающего напряжения, Гц.

Ротор АД вращается с угловой скоростью .

При таком представлении фазные токи ia, ib и ic можно рассматривать как проекции вектора на соответствующие оси фазных обмоток.

Рис. 7. Графическое определение составляющих обобщенного вектора

Если произвести построение вектора , откладывая значения фазных токов ia, ib и ic на осях обмоток, то суммарный вектор I1 окажется в полтора раза больше того вектора, проекции которого соответствуют фазным токам. Поэтому в выражении присутствует коэффициент 2/3, приводящий модуль суммарного вектора к такому значению, которое при проецировании на оси фазных обмоток даст истинные значения фазных токов.

Рис. 8. Графическое определение обобщенного вектора

Аналогичные «обобщенные» вектора можно записать также для напряжений статора и ротора , тока ротора и потокосцеплений статора и ротора .

; ; .

.

.

; ; .

.

; ; .

.

13.4. Уравнения для цепей статора и ротора ад с применением обобщенных векторов

Три уравнения для цепи статора АД составлены по 2 закону Кирхгофа.

. (16)

. (17)

. (18)

Умножим уравнение (17) на « », уравнение (18) на « ».

. (19)

. (20)

(21)

Сложим уравнения (19), (20) и (21), а результат умножим на 2/3. Получим:

.

Переходя к обобщенным векторам, получим:

(22)

Умножим правую и левую части уравнения (22) на 2/3 получим:

. (23)

Три уравнения для цепи ротора АД составлены по 2 закону Кирхгофа.

. (24)

. (25)

. (26)

Умножим уравнение (25) на « », уравнение (26) на « ».

. (27)

. (28)

(29)

Сложим уравнения (27), (28) и (29), а результат умножим на 2/3. Получим:

.

Переходя к обобщенным векторам, получим:

(30)

Умножим правую и левую части уравнения (22) на 2/3 получим:

. (31)

Уравнения для цепи статора и ротора в обобщенной форме

;

.

В полученных уравнениях векторы тока статора и ротора, векторы напряжения статора и ротора, векторы потокосцеплений записаны в различных системах координат. Так уравнение для статора записано в неподвижной системе координат « », связанной со статором, а уравнение для ротора записано во вращающейся (смещенной на текущий угол « ») системе координат «x-y», связанной с ротором.