4. Магистральные модели

5.3.1. Магистральная модель накопления

Если динамическую модель межотраслевых связей преобра­зовать в систему неравенств и ввести в нее целевую функцию, то оптимальное решение модели можно найти путем решения зада­чи линейного программирования. Связь между оптимальным решением и моделью фон Неймана (магистральной моделью) отчетливо демонстрируют теория магистралей и теорема маги­страли.

Что такое магистраль? Это направление оптимального роста. Основная идея теории магистрали заключается в том, что для обеспечения наиболее эффективного экономического роста желательно поступать следующим образом — сначала вывести экономику на магистральный путь (траекторию фон Неймана), а по истечении определенного, при­чем длительного времени вывести ее к задуманной цели. Име­ется два основных типа магистральных моделей — магистраль­ная модель накопления (магистральная модель конечного состоя­ния) и магистральная модель потребления. Начнем с рассмотре­ния первой из них.

Магистральную модель накопления, выраженную в виде закрытой системы стоимостных значений, целью которой является максимизация накопленной суммы капитала в конце планового периода, можно сформулировать как многоразмерную задачу линейного программирования:

РВХ (Т) →mах при ограничениях

где X(t) —вектор выпуска продукции за период времени t = 0, 1,..., Т размера (nx1); А и В — соответственно неотрица­тельная матрица коэффициентов увеличения затрат и матрица коэффициентов капитала, обе размера (nxn); Р — заданный вектор размера (1xn) оценки запасов в конечный (последний) период. При этом вектор Х(0) является заданным, причем

(I — А + В)Х(0) >0, РВ>0.

Матрицы А и В определяются следующим образом: A = A + hv; A=A⁽¹⁾ + A⁽²⁾; В= B⁽¹⁾ + В⁽²⁾

Здесь А, А⁽¹⁾ и А⁽²⁾ есть неотрицательные матрицы размера (nxn) коэффициентов потока ресурсов, а именно затрат всех видов ре­сурсов (А), текущих затрат (A⁽¹⁾ ), .амортизации основного капи­тала (А ⁽²⁾). Матрицы В, В⁽¹⁾ и В⁽²⁾ —это неотрицательные мат­рицы размера (nxn) коэффициентов состояния активов, а имен­но— всех видов активов в целом (В), активов в виде основных фондов (В⁽¹⁾ ) и в виде товарных запасов (В⁽²⁾)- Вектор h — вектор-столбец коэффициентов потребления-потока размера (nx1)> v—положительный вектор нормы добавленной стои­мости.

Уравнение магистрали объема выпуска, являющейся одной из возможных траекторий в рамках задачи (Т1), может быть записано в форме

Х= (А+ gB)X; eX= 1, (5.48)

где е—единичный вектор, т. е. е = (1, ..., 1); X — вектор равно­весного объема выпуска; g — положительное значение темпа роста равновесного выпуска. Вышеприведенное уравнение можно переписать в виде g^-1 X = (I — А) ВХ. Сделаем также следую­щее допущение (I — А)^-1 > 0, а В в каждой строке имеет хотя бы один положительный элемент. При этом допущении, поскольку (I — А)^-1 В > 0, согласно теореме Перрона-Фробениуса для по­ложительных матриц максимальный по своему абсолютному значе­нию характеристический корень λ* матрицы (I —А)^-1 В и принад­лежащий ей положительный правый характеристический вектор X* однозначно определены, и не существует никаких других неотрицательных характеристических векторов. Соответственно имеющая ясный экономический смысл магистральная модель представляет собой полупрямую {αХ*: α≥0}, а темп прироста g* для равновесного роста определяется как величина, обрат­ная λ*.

Если к сделанному выше допущению добавить второе det (В) ≠ 0, а также ряд дополнительных ограничений, то приме­нительно к достаточно длительному периоду времени Т между маги­стральной траекторией, задаваемой решением задачи (Т1) неза­висимо от первоначального значения Х(0) и вектора оценок Р, оказываются справедливыми отношения, описываемые «сильной» и/или «слабой» теоремами о магистрали. «Слабая» теорема ут­верждает, что, за исключением определенного периода Т₀, не зависящего от продолжительности планового периода, все опти­мальные траектории сосредоточиваются в относительной близости от магистральной. «Сильная» же состоит в утверждении, что те промежутки времени Т₀, на которых оптимальные траек­тории удалены от магистральной, ограничены началом и концом планового периода, а в середине этого периода оптимальные тра­ектории располагаются в относительной близости к магистраль­ной. Подобные же теоремы можно составить и для задачи, двой­ственной по отношению к названной, а именно для магистраль­ной модели цен. Однако здесь мы затронем лишь уравнение, двойственное по отношению к уравнению (5.48), т. е. магистраль­ное уравнение (индекса) цен. Обозначив вектор индекса равновес­ных цен через Р(1xn), а равновесную корму прибыли через г,это уравнение можно записать в виде:

, (5.49)

где Р(0) =(1,…,1)—вектор индекса цен в начальном периоде. Если сохраняется первое допущение (см. выше), то равно­весное значение нормы прибыли r* получается аналогичным обра­зом как величина, обратная положительному характеристическому вектору неотрицательной матрицы В(1 — А)^-1 с наибольшим аб­солютным значением, а соответствующий ему левый характери­стический вектор определяет индекс равновесных цен Р* (в рас­сматриваемой ниже задаче Р= (1,..., 1). Из уравнений (5.48) и (5.49) вытекает, что

g* = r*= P*((I-А)Х*/Р*ВХ*. (5.50)

Задание

Составить программу (Т1) в среде Mathcad для вычисления оптимальной тра­ектории роста путем построения магистральной модели накоп­ления, приняв в качестве планового периода пятилетний срок. В качестве исходных использовать следующие данные:

Временной горизонт принять равным 5 лет.

C=(-0,0142, 0,3589, 0,3962), V=(0,6591, 0,3351, 0,7523).

Список переменных:

Н— число отраслей;

М— число формул, выражающих ограничивающие условия;

N— число переменных;

L = M+ N— число столбцов в матрице задачи ЛП; Т— плановый период;

AA(I, J)=а_ij , BB(I, J) =b_ij,CC(I) = h_i VV(I) =v_i DD= I-A+ B, P(l) =P_i

X(I, T)— объем выпуска i-й отрасли за период времени t;

Х(1,0)=Х(0)—объем выпуска в начальный период; Х(0, Т)—общий объем выпуска за время t.