Решение задач линейного программирования транспортного типа

Пусть имеется m пунктов отправления , из которых сосредоточен однородный груз в количестве единиц, и n пунктов назначения , потребности которых в грузе составляют единиц. Стоимость перевозки единицы груза из пункта A_i в пункт B_j равна с_ij. Необходимо составить такой план перевозки грузов (т.е., определить сколько единиц груза необходимо перевезти из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения), который бы обеспечивал вывоз всех грузов из пунктов отправления, удовлетворение всех потребностей в пунктах назначения и имел бы минимальную стоимость.

Обозначим через x_ij количество груза, перевозимого из пункта A_i в пункт B_j.

Условия транспортной задачи обычно записывают в виде таблицы, называемой матрицей планирования.

Пункты отправления	Пункты назначения					Запасы
	B1	…	Bj	…	Bn
A1	c11		c1j		c1n	a1
	x11		x1j		x1n
…						…
Ai	ci1		cij		cin	ai
	xi1		xij		xin
…						…
Am	cm1		cmj		cmn	am
	xm1		xmj		xmn
Потребности	b1		bj		bn

Математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

Целевая функция определяет общую стоимость перевозок. Система ограничений (1) обеспечивает вывоз всех грузов из каждого пункта отправления, система ограничений (2) – удовлетворение необходимых потребностей в грузах во всех пунктах назначения.

Всякое неотрицательное решение СЛАУ, задающей систему ограничений (1) – (2), называется планом транспортной задачи. План при котором целевая функция минимальна, называется оптимальным планом.

Теорема

Если запасы грузов a₁, …, a_m и потребности в грузах b₁, …, b_m – целые числа, то

а) если задача имеет единственное решение, то оно целочисленно;

б) если задача имеет не единственное решение, то среди них имеется хотя бы одно целочисленное.

Модель транспортной задачи называется закрытой, если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна общему запасу груза в пунктах отправления, т.е.

.

В противном случае модель ТЗ называется открытой.

Теорема

Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы ее модель была закрытой.

Приведение открытой модели транспортной задачи к закрытой осуществляется следующим образом:

1) Если запасы больше потребностей: , вводится фиктивный (n+1)-й пункт назначения. Его потребность , а тарифы .

2) Если , то вводится фиктивный (m+1)-й пункт отправления, его запас , и тарифы .