Классификация задач оптимизации.

1. В зависимости от числа управляемых параметров различают задачи одномерной и многомерной оптимизации (и соответственно методы одномерной и многомерной оптимизации).

2. По характеру искомого оптимума различают задачи локальной и глобальной оптимизации унимодальные и многоэкстремальные задачи.

3. В зависимости от числа критериев оптимальности различают задачи однокритериальной и многокритериальной (векторной) оптимизации.

4. В зависимости от наличия ограничения различают задачи безусловной и условной оптимизации.

5. По виду (характеру) критерия оптимальности и ограничений различают задачи линейной и нелинейной оптимизации. В задачах линейной оптимизации целевая функция и функции ограничений линейны.

6. Если критерии оптимизации и допустимая область является выпуклыми, то мы имеем задачу выпуклого программирования.

7. По характеру изменения управляемых параметров различают задачи непрерывной и дискретной оптимизации. В задачах непрерывной оптимизации входные параметры изменяются непрерывно, т.е. принадлежат множеству действительных чисел. В задачах дискретной оптимизации входные параметры принимают дискретный ряд значений.

Частными случаями задач дискретной оптимизации являются задачи целочисленной оптимизации, когда входные параметры могут принимать только целочисленные значения , и задачи булевой оптимизации, когда . Если D – дискретное конечное множество точек, то такая дискретная задача называется комбинаторной. Если при оптимизации часть параметров дискретна, а часть имеет непрерывный характер, то имеем задачу частично дискретной (непрерывно-дискретной) оптимизации.

Для различных классов задач разработаны соответствующие алгоритмы их решения, изучению которых и посвящен данный курс.

( методы непрерывной, дискретной оптимизации, линейного, нелинейного программирования и т.д.)

Эти методы инвариантны к предметной области их применения.

Линейная оптимизация

Задача линейной оптимизации — это задача оптимизации в которой целевая функция и функция ограничений линейны. Задача ЛП состоит в определении максимума (минимума) линейной функции на допустимом множестве, описываемом системой линейных ограничений.

Формы записи задачи ЛП и их эквивалентность

В общем виде ЗЛП может быть записана следующим образом:

Стандартной (или симметричной) ЗЛП называется cледующая задача:

Для разработки вычислительных методов в качестве стандарта принята каноническая форма записи ЗЛП:

Каноническая форма ЗЛП характеризуется следующими условиями:

1. Целевая функция подлежит минимизации.

2. Все переменные должны быть неотрицательны.

3. Правые части ограничений должны быть неотрицательны.

4. Все ограничения записываются в виде равенств.

Указанные выше три формы злп можно привести друг к другу с помощью эквивалентных преобразований. Прикладные линейные модели

Рассмотрим основные приемы построения математических моделей для некоторых типовых задач линейного программирования.

1. Задача определения производственного плана.

Для изготовления n видов продукции A₁,…,A_n необходимы ресурсы S₁,…,S_m (сырье, рабочая сила, оборудование и т.д.). Заданы значения a_ij, которые характеризуют количество ресурса S_i , необходимого для выпуска единицы продукции A_j. Запас каждого ресурса S_i ограничен и равен b_i . От реализации единицы продукции A_j может быть получена прибыль c_j. Необходимо так составить производственный план (т.е. определить, сколько продукции каждого вида необходимо выпустить), чтобы общая прибыль от производства всей продукции была максимальной.

Исходные данные задачи можно удобно представить в виде табл.1:

Таблица 1

Ресурсы	Виды продукции				Запасы ресурсов
	A1	A2	…	An
S1 S2 … Sm	a11 a21 ... am1	A12 a22 ... am2	... ... ... ...	A1n a2 n ... amn	b1 b2 ... bm
Прибыль	c1	c2	…	cn

Обозначим через x_j количество продукции A_j, которое необходимо выпустить по плану. Тогда математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

c₁x₁+ c₂x₂+...+ c_nx_n max;

Здесь целевая функция – это общая прибыль от производства всей продукции. Каждое i-е ограничение характеризует общее количество ресурса S_i для производства всей продукции, которое не должно превышать величины b_i. Кроме ограничения по ресурсам, в условия задачи (а, следовательно, и в ее математическую модель) могут вводиться дополнительные ограничения на планируемый выпуск продукции (ограничения по ассортименту, условия комплектности и т.д.).

Пример. Требуется определить, в каком количестве необходимо выпускать продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4 для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые ресурсы, сырье, финансы. Нормы расхода ресурсов каждого вида для выпуска единицы продукции, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены в табл. 2. Количество расходуемых ресурсов не должно превышать имеющихся запасов.

Таблица 2

Ресурсы	Виды продукции				Запасы ресурсов
	Прод. 1	Прод. 2	Прод.3	Прод.4
Трудовые	3	1	2	4	440
Сырье	1	8	6	2	200
Финансы	1	4	7	2	320
Прибыль	7	3	6	12

Математическая модель для решения данной задачи будет иметь следующий вид:

F=7x₁+3x₂+6x₃+12x₄max;

3x₁+x₂+2x₃+4x₄ 440;

x₁+8x₂+6x₃+2x₄ 200;

x₁+4x₂+7x₃+2x₄ 320;

x_j 0, j= .

2. Задача о смесях.

Имеется набор компонентов A₁,…,A_n, при сочетании которых в разных пропорциях образуются различные смеси. В состав каждого компонента входят вещества P₁,…,P_m. Через a_ij обозначим количество вещества P_i в единице компонента A_j. В смеси необходимо обеспечить содержание вещества P_i (обозначим его через b_i ). Цена единицы компонента A_j равна c_j. Необходимо определить состав смеси (т.е., количество компонентов каждого вида), цена которой окажется минимальной. Исходные данные задачи представлены в табл.3:

Таблица 3

Вещества	Компоненты смеси				Минимально необходимое количество веществ
	A1	A2	…	An
P1 P2 … Pm	a11 a21 ... am1	A12 a22 ... am2	... ... ... ...	A1n a2 n ... amn	b1 b2 ... bm
Цена	c1	c2	…	cn

Обозначим через x_j количество компонента A_j, которое необходимо включить в смесь. Тогда математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

c₁x₁+ c₂x₂+...+ c_nx_n min;

Здесь целевая функция характеризует цену смеси, которая должна быть минимальной. Каждое i-е ограничение характеризует общее количество вещества P_i в смеси. Кроме ограничений по содержанию отдельных веществ в смеси, в задаче могут быть использованы ограничения по имеющимся запасам отдельных компонентов или по предельным нормам их включения в смесь. Могут задаваться также пропорции, в которых некоторые из компонентов должны входить в состав смеси.

Пример Фирма занимается составлением диеты, состоящей из трех продуктов (мясо, крупы, молоко) и содержащей не более 26 единиц углеводов, не менее 16 единиц витаминов и не более 60 единиц белков. Как дешевле всего достичь этого при указанных в табл. 4 количествах углеводов, витаминов и белков в единице каждого продукта?

Таблица 4

Вещества	Виды продуктов			Предельное количество веществ в диете
	Мясо	Крупы	Молоко
Углеводы	2	4	5	26
Витамины	4	2	0	16
Белки	12	3	1	60
Цена	6	1	1

Математическая модель данной задачи имеет вид:

F=6x₁+x₂+x₃min;

2x₁+4x₂+5x₃ 26;

4x₁+2x₂16;

12x₁+3x₂+x₃ 60;

x_j 0, j= .

3. Задача о комплектах.

Пусть планируется производство комплектных изделий. Каждое изделие содержит m видов деталей, причем деталей первого вида - k₁ единиц, деталей второго вида k₂ единиц, деталей j-го вида k_j единиц. Изделия могут изготавливаться n различными исполнителями. Пусть в единицу времени i-й исполнитель может изготовить a_ij элементов j-го вида. Сдаче подлежат только комплектные изделия. Каждый i-й исполнитель работает не более b_i часов. Определить такой план загрузки исполнителей, чтобы общее число выпускаемых комплектных изделий было максимальным.

Обозначим через - время изготовления деталей j-го вида i-м исполнителем. Тогда общее число деталей j-го вида, изготавливаемых всеми исполнителями, определится в виде

, .

Общее количество изделий, для выпуска которых хватит деталей j-го типа при условии, что k_j единиц расходуется на одно изделие равно

Тогда общее число комплектов определится следующим образом:

В результате математическую модель задачи можно сформулировать в виде:

=

, ;

.

Для формализации данной постановки в виде задачи линейного программирования введем новую переменную:

,

что равносильно записи

.

Тогда окончательный вид математической модели задачи:

Методы решения задач линейного программирования

Симплекс-метод

Основным методом решения ЗЛП является симплексный метод. Перед его использованием ЗЛП необходимо привести к канонической форме записи. При этом используются следующие приемы:

1. Для перехода от задачи максимизации к задаче минимизации целевую функцию необходимо умножить на –1.

2. Переменные, на которых не наложено ограничение неотрицатель-ности, заменяются во всех ограничениях и в целевой функции разностью двух неотрицательных переменных

x_j = u_j- w_j u_j, w_j  0.

3. Переход к ограничениям с неотрицательными правыми частями осуществляется умножением левой и правой частей ограничений с отрицательными правыми частями на –1. При этом знаки соответствующих неравенств меняются на противоположные.

4. Переход от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам производится путем введения дополнительных неотрицательных переменных. При этом если знак неравенства , дополнительная переменная прибавляется к левой части ограничения, а если , то вычитается. Таким образом, ограничение-неравенство

a_i1x₁ + a_i2x₂ +…+ a_inx_n  b_i

преобразуется в ограничение-равенство

a_i1x₁ + a_i2x₂ +…+ a_inx_n + x_n+1 = b_i (x_n+1  0),

где x_n+1 – дополнительная переменная, x_n+10.

Ограничение-неравенство:

a_i1x₁ + a_i2x₂ +…+ a_inx_n  b_i

преобразуется в ограничение-равенство следующим образом:

a_i1x₁ + a_i2x₂ +…+ a_inx_n - x_n+1 = b_i (x_n+1  0)

В каждое ограничение-неравенство вводится своя дополнительная переменная. Число вводимых дополнительных неотрицательных переменных равно числу преобразуемых неравенств.

Рассмотрим ЗЛП в канонической форме:

Вектор X = (x_1,…, x_n), удовлетворяющий системе ограничений ЗЛП, называется допустимым решением или планом.

План, X^*=(x₁^*,…,x_n^*), при котором целевая функция принимает оптимальное значение, называется оптимальным.

Перепишем ЗЛП в векторной форме.

где A₁,…,A_n – m-мерные вектор-столбцы, составленные из коэффициентов при переменных в системе ограничений:

.

B – вектор-столбец свободных членов системы ограничений:

.

План X = (x_1,…, x_n) называется опорным планом ЗЛП, если система векторов А_j, входящих в разложение с положительными коэффи-циентами x_j , линейно независима. Так как векторы А_j являются m-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может быть больше, чем m.

Симплексный метод решения ЗЛП основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции убывает. Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Такой план можно легко указать, если ЗЛП записана в форме:

Векторная форма данной задачи имеет вид:

где

Переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений с коэффициентом равным 1, называют базисными переменными (в рассматриваемом примере это переменные x₁… x_m). Остальные переменные называются свободными. Тогда, приравнивая базисные переменные соответствующим правым частям ограничений, а свободные переменные нулю, получим опорный план X = (b₁, b₂,…, b_m,0 ,…,0), определяемый системой единичных векторов, А₁,…, А_m , которые образуют базис m-мерного пространства.

Для удобства расчетов в симплексном методе все данные по задаче аносят в симплекс-таблицу:

Таблица 5

x	с	B		с1	c2	…	cn
				X1	x2	…	xn
x1	c1	b1		A11	a12	…	a1n
x2	c2	b2		A21	a22	…	a2n
…	…	…		…	…	…	…
xm	cm	bm		Am1	am2	…	amn
F				1	2	…	n

В верхнюю строку таблицы заносятся коэффициенты при всех переменных в целевой функции. В первом столбце таблицы записываются базисные переменные в той последовательности, в которой они входят в систему ограничений, во втором – коэффициенты целевой функции при базисных переменных, в третьем – правые части всех ограничений, в последующих столбцах – коэффициенты при соответствующих переменных в системе ограничений. В нижней строке таблицы записываются оценки по каждой переменной, определяемые следующим образом: . Очевидно, что для базисных переменных оценки равны нулю.

На каждой итерации симплекс-метода осуществляется вывод из базиса какой-либо переменной и включение в него другой переменной с соответствующим пересчетом элементов таблицы. Перед решением задачи ее необходимо привести к канонической форме.

Основные шаги симплекс – метода:

1. Определение начального опорного плана.

2. Составление симплекс-таблицы.

3. Вычисление оценок .

4. Анализ оценок.

   1. Если , то получено оптимальное решение.

   2. Если существует хотя бы одна оценка _j > 0 , для которой , то целевая функция не ограничена снизу на множестве допустимых решений (ЗЛП не имеет решения).

   3. Из всех оценок _j > 0 выбирается максимальная:

Переменная x_k, которой соответствует максимальная оценка, стано-

вится на текущей итерации базисной, а k-й столбец объявляется

ведущим столбцом.

5. Определение ведущей строки. Для этого находятся отношение правых частей ограничений к положительным элементам ведущего столбца и среди них выбирается минимальное:

.

S-я строка объявляется ведущей строкой. Элемент, находящийся в симп-

лекс-таблице на пересечении s-й строки и k-го столбца a_sk, называется ведущим элементом.

6. Пересчет элементов симплекс-таблицы.При этом элементы ведущей строки a_s1,…, a_sn, b_s делятся на ведущий элемент a_sk. Пересчет остальных элементов осуществляется по правилу прямоугольника.

	k-й столбец		j-й столбец
s-я строка	ask		аsj
i-я строка	aik		аij

Пусть a_sk – ведущий элемент. Элемент a_ij – пересчитывается следующим образом:

.

7. Переход к шагу 3

Оптимальное решение определяется следующим образом: базисные переменные приравниваются соответствующим правым частям, остальные нулю.

Пример

x₁-x₂-3x₃min

2x₁-x₂+x₃  1

4x₁-2x₂+x₃  -2

3x₁+x₃  5

x₁, x₂, x₃  0

Приведем к каноническому виду

x₁-x₂-3x₃min

2x₁-x₂+x₃+x₄ = 1

-4x₁+2x₂-x₃+x₅ = 2

3x₁+ x₃+x₆ = 5

x₁, x₂, x₃  0

Составим “симплекс-таблицу”:

xб	Сб	b	1	-1	-3	0	0	0
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	0	1	2	-1	1	1	0	0
x5	0	2	-4	2	-1	0	1	0
x6	0	5	3	0	1	0	0	1
0			-1	1	3	0	0	0
x3	-3	1	2	-1	1	1	0	0
x5	0	3	-2	1	0	1	1	0
x6	0	4	1	1	0	-1	0	1
-3			-7	4	0	-3	0	0
x3	-3	4	0	0	1	2	1	0
x2	-1	3	-2	1	0	1	1	0
x6	0	1	3	0	0	-2	-1	1
-15			1	0	0	-7	-4	0
x3	-3	4	0	0	1	2	1	0
x2	-1	11/3	0	1	0	-1/3	1/3	2/3
x1	1	1/3	1	0	0	-2/3	-1/3	1/3
-46/3			0	0	0	-19/3	-11/3	-1/3

Оптимальное решение:

x₁=1/3; x₂=11/3; x₃=4; x₄=0; x₅=0; x₆=0.

Метод искусственного базиса

Как было указано выше, решение ЗЛП симплексным методом начинается с указания какого-либо первоначального опорного плана. Для ЗЛП, записанной в канонической форме, можно непосредственно указать опорный план, если среди векторов A_j, компонентами которых служат коэффициенты при переменных в системе ограничений данной задачи, есть m единичных (т.е., имеются m базисных переменных). Однако для многих ЗЛП, записанных в канонической форме, не всегда можно сразу определить опорный план. Рассмотрим задачу

Пусть в данной задаче среди векторов

нет единичных.

В данном случае к каждому i-му уравнению системы ограничений добавляется неотрицательная переменная x_n+i , называемая искусственной переменной. Так как введение искусственных переменных, в отличие от дополнительных, меняет множество решений задачи, то они вводятся также и в выражение для целевой функции с очень большим коэффициентом M > 0 (тогда в процессе решения задачи минимизации искусственные переменные будут стремиться к нулю). В результате получается задача, называемая расширенной по отношению к исходной:

;

;

.

В результате может быть указан первоначальный опорный план. Искусственные переменные приравниваются к правым частям (x_n+i=b_i), остальные – нулю ( ). Тогда целевая функция примет вид:

,

а оценки _j в данном случае будут складываться из двух частей, одна из которых зависит от М, а другая не зависит:

.

Исходные данные расширенной задачи заносят в симплекс-таблицу, которая содержит на строку больше, чем обычная. В последнюю, (m + 2)-ю строку оценок таблицы записывают коэффициенты при M, а в (m + 1)-ю - слагаемые, не содержащие M.

Так как знак _j определяется знаком коэффициента, стоящего при M, ведущий столбец (и соответственно базисную переменную) выбирают по наибольшему положительному элементу (m + 2)-й строки таблицы. Пересчет симплекс-таблицы при переходе от одного опорного плана к другому производят по общим правилам симплексного метода. Итерационный процесс по (m + 2)-й строке ведут до тех пор, пока

1. либо все искусственные переменные не будут исключены из базиса;

2. либо не все искусственные переменные будут исключены, но (m + 2)-я

строка не содержит больше положительных элементов.

В первом случае полученное базисное решение соответствует некоторому опорному плану исходной задачи, (m+2)-я строка таблицы вычеркивается и решение задачи продолжают обычным симплексными методом. Во втором случае, если элемент, стоящий в (m + 2)-й строке столбца B положителен, задача не имеет решения, если он равен нулю, то базис содержит по крайней мере один из векторов искусственного базиса.

Если в процессе решения задачи какая-либо искусственная переменная выводится из базиса, то соответствующий столбец симплекс-таблицы можно вычеркнуть и не пересчитывать (т.к. эту переменную не имеет смысла вводить ни в один из последующих базисов).

Рассмотренный метод построения начального опорного плана называется методом искусственного базиса.

Таким образом алгоритм метода включает следующие шаги:

1. Составляется расширенная задача

2. Находится опорный план решения задачи

3. С использованием симплекс-метода искусственные переменные исключаются из базиса. В результате получается некоторый опорный план исходной задачи.

4). Нахождение оптимального плана исходной задачи с использованием симплекс-метода.

Пример:

xб	Сб	b	-2	3	-6	-1	0	0	M
			x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x4	-1	24	2	1	-2	1	0	0	0
x5	0	22	1	2	4	0	1	0	0
x7	M	10	1	-1	2	0	0	-1	1
-24			0	-4	8	0	0	0	0
10			1	-1	2	0	0	-1	0
x4	-1	34	3	0	0	1	0	-1
x5	0	2	-1	4	0	0	1	2
x3	-6	5	1/2	-1/2	1	0	0	-1/2
-64			-4	0	0	0	0	4
x4	-1	35	5/2	2	0	1	1/2	0
x6	0	1	-1/2	2	0	0	1/2	1
x3	-6	11/2	1/4	1/2	1	0	1/4	0
-68			-2	-8	0	0	-2	0

Ответ: x^*=(0; 0; 11/2; 35; 0; 1).