Задача о разбиении. Задача о разбиении аналогична задачи о покрытии с тем отличием, что признаки у различных предметов не должны совпадать:

Задача о взвешенном разбиении формулируется следующим образом:

К задаче о покрытии сводится широкий круг задач информационного поиска, синтеза логических схем, задачи разбиения электронных схем на модули и покрытия схем типовыми ячейками и т.д.

Пример. Пусть некоторое количество информации хранится в n массивах (файлах) длины , причем на каждую единицу информации отводится по крайней мере один массив. Задана матрица T с элементами

Получена заявка на m типов единиц информации. Необходимо определить подмножество массивов минимальной длины, необходимых для удовлетворения заявки.

Введем бинарные переменные:

.

Тогда математическая модель задачи формализуется в виде задачи о покрытии:

Методы решения задач дискретной оптимизации.

Методы решения задач дискретной оптимизации делятся на следующие группы:

1. Методы отсечения

2. Комбинаторные

3. Приближенные

Методы отсечения используются только для решения линейных задач, а комбинаторные и приближенные методы - для всех (и линейных и нелинейных задач).

Методы отсечения

Рассмотрим целочисленную ЗЛП.

Если p=n, то это задача полностью целочисленная, если нет - то частично целочисленная. Обозначим ЗЦЛП через z, область допустимых решений D_z, оптимальное решение задачи X_z^*.

Обозначим соответственно ЗЛП без условия (*) через P, область дополнитель­ных решений - D, оптимальное решение - X^*. Предположим, что область D - выпуклое ограниченное множество. Тогда D_z представляет собой дискретное множество точек с целочисленными координатами, которые принадлежат D, то есть .

ЗЦЛП z и ЗЛП Р характеризуются следующими свойствами:

1. Минимальное значение целевой функции в z всегда больше минимального значения этой же целевой функции в p.

. Таким образом, значение целевой функции в точке непрерывного оптимума является нижней границей значения целевой функции в точке дискретного оптимума.

2. Если оказывается целочисленным, то оно является оптимальным решением задачи Z,

3. Если не имеет решений Р, то не имеет решений и Z.

Основная идея метода отсечения:

1. Решается последовательность задач ЛП .

2. Каждая последующая задача ЛП получается из предыдущей путем добавления к ее условиям дополнительного линейного ограничения, называемого правильным отсечением. При этом l-тым отсечением называется дополнительное линейное ограничение, вводимое в задачу для образования задачи и характеризующаяся следующими свойствами:

1. Каждое целочисленное решение задачи Z из области D_z ему удовлетворяет.

2. Нецелочисленное решение задачи P_l-1 ему не удовлетворяет (отсекается).

Таким образом в задаче P последовательно добавляются дополнительные ограничения (отсечения), не исключающее целочисленных допустимых точек и отсекающие нецелочисленные решения ЗЛП.

Отличие методов отсечения от других заключается в способах формирования дополнительных ограничений.

Алгоритм Гомори для решения полностью целочисленной ЗЛП.

Целой частью числа будем называть наибольшее целое число, не превосходящее .

Дробная часть числа называется разность между числом и его целой частью.

Пример.

Основные шаги алгоритма.

1. Определение оптимальности решения ЗЛП без учета условий целочисленности симплекс-методом.

2. Если полученное решение ЗЛП является целочисленным, то останов, иначе 3.

3. В нецелочисленном оптимальном решении ЗЛП выбирается базисная переменная x_k с наибольшей дробной частью.

,где -базисные переменные; В- множество индексов базисных переменных.

4. Для выбранной переменной составляется дополнительное ограничение. .

S - номер строки окончательной симплекс-таблицы, которой соответствует переменная x_k.

5. Определение решения ЗЛП, получающейся из предыдущей в результате присоединения дополнительного ограничения. При этом дополнительное ограничение добавляется к последней симплекс-таблице. Для этого дополнительное ограничение преобразуется в уравнение :

Затем полученное уравнение умножается на (-1). После добавляются ограничения к последней симплекс-таблице. ЗЛП решается двойственным симплекс-методом.

6. Переход к S2.

Пример.

Пусть в результате решения симплекс-методом окончательная симплекс-таблица имеет вид:

хб	Сб	b	-3	-2	0	0	0
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	-2	7/2	0	1	1/2	-1/2	0	0
x1	-3	19/2	1	0	1/2	1/2	0	0
x5		34	0	0	1	2	1	0
-71/2			0	0	-5/2	-1/2	0

Составим дополнительное ограничение:

Дробные части равны между собой. Поэтому дополнительное ограничение составляется для любой переменной (обычно для первой). Составим ограничение для переменной :

Добавляем это ограничение симплекс-таблице:

x6	0	-1	0	0	-1	-1	0	1
x2	2	4	0	1	1	0	0	-1/2
x1	3	9	1	0	0	0	0	½
x5	0	32	0	0	-1	0	1	2
x4	0	1	0	0	1	1	0	-1
-35			0	0	-2	0	0	½

После добавления дополнительного ограничения решается двойственным симплексным методом.

Оптимальный план (9; 4; 0; 1; 32).

ЗЦЛП не имеет решений в следующих случаях:

1. Если не имеет решений ЗЛП, то не имеет решений и ЗЦЛП

2. Если для дробного b_S все a_sj окажутся целыми.

Метод Гомори для решения частично-целочисленных задач линейного программирования.

Алгоритм аналогичен предыдущему:

определяется из следующих соображений:

1. Для переменных , которые могут принимать только целочисленные значения:

2. Для переменных , которые могут принимать целочисленные значения:

Достоинства метода.

Простота построения .Простая логика.

Возможность использовать стандартного ПО (для двойственного симплекс метода)