Задача коммивояжера

Имеются n пунктов или городов с заданными расстояниями между i-м и j-м пунктами. Необходимо составить оптимальный маршрут из условия минимизации суммарного расстояния для коммивояжера, выходящего из пункта с номером 1, который должен побывать во всех пунктах ровно по одному разу и вернуться в исходный пункт.

Введем альтернативные бинарные переменные :

.

Условия минимизации общего расстояния , а также прибытия в каждый пункт и выезда из него ровно по одному разу могут быть выражены следующим образом:

.

Однако необходимо обеспечить непрерывность маршрута, чтобы набор звеньев, входящих в маршрут, образовывал единую цепочку (например, при n=8 цепочка (1,2) - (2,6) - (6,4) - (4,8) - (8,5) - (5,3) - (3,7) - (7,1)), а не состоял бы из отдельных не связанных цепочек (например, (1,2) - (2,6) - (6,1) и (3,8) - (8,7) - (7,5) - (5,4) - (4,3)). Для устранения замкнутых циклов (подобходов), включающих количество вершин меньшее n, в модель вводятся n дополнительные переменных u_i0 ( ) и n² дополнительных ограничений:

_.

Действительно, пусть маршрут включает несколько цепочек. Тогда существует цепочка, начинающаяся и заканчивающаяся в начальном пункте, но включающая n₁ звеньев, где n₁<n. Просуммировав эти неравенства вдоль такой цепочки (т.е. при x_ik=1), получим бессмысленное неравенство n₁(n-1)n₁(n-2) (все u_i и u_j при суммировании взаимно уничтожаются). Покажем теперь, что для маршрута, исключающего подобходы, это неравенство выполняется, т.е., можно найти значения u_i, удовлетворяющие дополнительным ограничениям. Положим u_i=p, если город i посещается коммивояжером на p-м шаге, p= . Отсюда следует, что . Таким образом, ограничения выполняются для всех . При эти ограничения превращаются в равенства

_.

Задача коммивояжера имеет широкий круг практических приложений. К ней сводятся задачи оптимальной маршрутизации (выбор маршрутов перевозки грузов, маршрутов движения транспорта, минимизация расстояния, проходимого исполнительным механизмом станка с ЧПУ и т.д.), задачи проектирования электрических и вычислительных сетей, задачи определения последовательности обработки деталей на станках с условием минимизации времени переналадок и т.д.

Пример 11. Пусть необходимо проложить коммуникации между n различными ЭВМ таким образом, чтобы каждая ЭВМ была связана с двумя соседними, вся сеть была бы подключена к центральной ЭВМ, а суммарная длина коммуникаций была бы минимальна. . Заданы расстояния d_ij между i-й и j-й ЭВМ.

Данная задача формализуется в виде задачи коммивояжера следующим образом:

;

.

При этом x_ij=1, если i-я и j-я ЭВМ соединяются.

Задача о покрытии

Пусть имеется n предметов, каждый из которых обладает некоторым числом признаков из заданного множества m признаков, а в совокупности эти n предметов обладают всеми m признаками. Необходимо выбрать минимальное число предметов, которые в совокупности обладали бы m признаками. Условия задачи задаются матрицей A с элементами

Введем бинарные переменные:

.

Тогда математическая модель задачи имеет следующий вид:

Каждое i-е ограничение в данном случае показывает, что должен быть выбран хотя бы один предмет, обладающий i-м признаком.

Если каждому j-му предмету приписывается вес , может быть сформулирована взвешенная задача о покрытии:

Если каждому i-му признаку приписывается натуральное число и требуется найти минимальное число таких предметов, что i-м признаком обладает не менее предметов из указанного набора, получаем задачу о кратном покрытии: