Задача о назначениях.

Линейная задача о назначениях .

Имеется n исполнителей и n видов работ, которые они могут выполнять. Пусть - производительность i-го исполнителя при выполнении j работы. Каждый исполнитель может выполнять один вид работ, а каждый вид работ может быть выполнен одним исполнителем. Требуется таким образом распределить исполнителей по видам работ, чтобы общая производительность была максимальной.

Введем альтернативные переменные :

Тогда математическая модель задачи имеет вид:

Иногда задача о назначениях формулируется как задача минимизации, если в качестве выбирается время, затраченное i-м исполнителем на выполнение j-й работы.

Необходимо заметить, что условие целочисленности переменных в задаче о назначениях можно не накладывать, т.к. эта задача является частным случаем транспортной задачи и при целочисленности правых частей ограничений целочисленность решения обеспечивается автоматически.

К задаче о назначениях сводится широкий круг задач дискретной оптимизации (распределение исполнителей по видам работ, закрепление за станками операций, распределение задач между различными ЭВМ, назначение претендентов на вакантные должности при формировании штатного расписания и т.д).

Пример . При передаче сообщений по каналу с шумом необходимо каждой букве передаваемого алфавита поставить в соответствие букву принимаемого таким образом, чтобы сумма вероятностей правильности принимаемых букв была бы максимальна.

Пусть - вероятность соответствия принимаемой j-й буквы передаваемой i-й букве. Введем альтернативные переменные:

Тогда математическая модель задачи будет иметь следующий вид:

Квадратичная задача о назначениях.

Имеется m пунктов, в которых необходимо разместить n объектов. В каждом пункте может быть размещен только один объект. Даны расстояния между i-м и j-м пунктами , а также c_sk – показатели, характеризующие взаимосвязи между s-м и k-м объектами (стоимость перевозок, число коммукникаций и т.д.). Необходимо определить такое назначение объектов в выделенные пункты, чтобы минимизировать соответствующие затраты.

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

В данном случае целевая функция зависит не от всевозможных назначений, а от всевозможных пар назначений (s-й элемент размещается в i-й пункт, а k-й – в j-й пункт). Целевая функция при этом не является линейной.

Квадратичная задача о назначениях имеет широкий круг практических приложений. Она может быть использована для решения задач размещения (оборудования, предприятий, деталей, и т.д.). Особенно часто эта модель используется в задачах конструкторско-топологического проектирования.

Пример. Необходимо таким образом разместить n компонентов печатной платы на m позициях монтажного пространства, чтобы суммарная длина электрических соединений между компонентами была бы минимальной.

Предположим, что n=m. Пусть - расстояние между k-й и s-й позициями, - число связей между i-м и j-м компонентами. Введем бинарные переменные

.