Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

вся правда о функциях!.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

450.73 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

В) Тригонометрические функции

Различные колебания окружают нас на каждом шагу. Механические колебания применяются для просеивания материалов на виброситах, безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры. Колебания сопровождают и биологические процессы, например, слух, зрение, работу сердца и мозга.

Но колебания не всегда полезны. Вибрация станка может привести к браку; вибрация самолетных крыльев при неблагоприятных условиях может привести к катастрофе. Если колебания под контролем человека полезны, то, вырвавшись из-под этого контроля, они превращаются в опасного врага. Надо уметь изучать колебания, знать их свойства.

Самый удобный математический метод для описания колебаний в применении тригонометрических функций. График функции y = sinx называется синусоида.

Г) Показательная функция

Показательная функция очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине. В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид показательной функцииу=у₀а^x.

Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания.

Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в банке, восстановление гемоглобина в крови донора или раненого. Закон органического роста выражается формулой: N = N₀e^kt.

Описание радиоактивного распада так же связано с показательной функцией. Количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имевшемуся количеству вещества. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М₀е^-kt, где: Мо – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент.

Функциональные зависимости в повседневной жизни

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с функциональными зависимостями. Мы нашли множество примеров функций, которые изобразили с помощью графиков.

Пример 1. Рассмотрим деление праздничного торта между гостями. Отчего зависит количество порций?– от числа гостей. А от чего зависит вес порции? – тоже от числа гостей.

− В первом случае, чем больше гостей, тем на большее количество порций мы должны разделить торт (рис. 1).

З десь наглядно можно представить прямую пропорциональную зависимость.

Рис. 2

Рис. 1

Во втором случае, чем больше гостей, тем меньше вес порции.Здесь мы видим обратную пропорциональнуюзависимость (рис. 2).

П ример 2. Мы живём в век информационных технологий. Ежедневно мы получаем массу информации из различных источников: телевидения, радио, газет, журналов, и, конечно, из Интернета. Известно, что объём информации каждые пять лет увеличивается в два раза.

Рис. 3

Рис. 1

Если построить график зависимости объёма информации от времени, то получим некоторую кривую, которая в математике называется экспонентой и является графиком показательной функции (рис. 3).

Рис. 1

П ример 3.На голове человека растут волосы, которые регулярно стригут.

График полученной зависимости (при условии, что стрижку делают регулярно) похож на функцию дробной части числа, смещённую на aединиц вверх: (рис. 4).

Рис. 4

П ример 4. За время обучения в школе каждый год переходим в следующий класс.

Такая зависимость сходна с функцией целой части числа на ограниченном промежутке (рис. 5).

Рис. 5

Пример 5. Изменение температурного режима в нашей климатической зоне подчиняется законам тригонометрических функций (рис. 6)

Рис. 6

П ример 6. Садово-огородные процессы тоже можно представить в виде функции и построить график. К примеру, яблоко росло, зрело, потом его высушили (рис. 7). Получили некоторую кусочную функцию.

Рис. 7

П ример 7.Графиком можно проиллюстрировать смысл любой пословицы.

Вот, например, пословица – «Каково жизнь проживешь, такую славу наживешь» на графике будет выглядеть следующим образом (рис.8):

Рис. 8

Из графика следует, что если на протяжении своей жизни будешь совершать отрицательные дела, поступки, то и слава о тебе будет отрицательная, и наоборот.

И ли такая пословица – «Пересев хуже недосева» на графике будет выглядеть так (рис. 9):

Рис. 9

Из графика видно, что если семян мало, то и урожай будет мал, если семян слишком много, то им расти будет плохо, и семена потеряешь, и урожая не соберешь, нужно посадить оптимальное количество семян и урожай будет высоким.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей.

Кстати : Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат:

1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс, а ось – осью ординат. Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.

2) Подписываем оси буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси.

3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 1 клеточка. Однако время от времени случается так, что в чертеже необходимо отмечать дробные величины , тогда допускается масштаб : 1 единица = 2 клеточка . Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше

НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям.

Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа. Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Это печалька нашего времени!!

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

А сами значения рассчитываются устно или на черновике.

1) Линейная функция вида ( ) называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретила добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Рассмотрим знаменитый случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: . Область определения любой функции стандартно обозначается через или . Буква обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс» (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву , а жирную букву R).

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через или .

Функция является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика