Лекція 32 інтервальне оцінювання параметрів розподілу випадкової величини Питання, що розглядаються в лекції

1. Довірчі інтервали для параметрів розподілу та надійність оцінки.

2. Довірчий інтервал для математичного сподівання нормального розподілу.

3. Довірчий інтервал для дисперсії та стандартного відхилення нормального розподілу.

4. Довірчі інтервали для ймовірності появи події при великому обсязі вибірки.

5. Довірчий інтервал для ймовірності появи події при малому обсязі вибірки.

6. Довірчий інтервал для параметру в законі Пуассона.

32.1. Довірчі інтервали для параметрів розподілу та

надійність оцінки

Точкова оцінка невідомого параметру розподілу , як правило, з точним значенням параметра не співпадає. Незміщені оцінки співпадають з параметром лише в середньому, конзистентні оцінки прямують до параметра зі збільшенням обсягу вибірки, а ефективні оцінки мають найменшу степінь випадкових відхилень від . Отже, завжди існує похибка . Величина похибки при цьому невідома, хоча потрібно знати, до яких помилок призведе заміна параметра на його точкову оцінку . Щоб отримати уявлення про точність і надійність точкової оцінки для параметра , використовують інтервальне оцінювання параметрів розподілу.

Означення 32.1. Інтервальною оцінкою параметра називають числовий інтервал , який з наперед заданою ймовірністю накриває невідоме значення параметра , тобто

.

Одразу звернемо увагу на те, що межі інтервалу знаходяться за вибіркою, отже, є випадковими величинами на відміну від параметра – величини невипадкової.

Означення 32.2. Інтервал , який з наперед заданою ймовірністю накриває невідоме значення параметра, називається довірчим інтервалом, величина – довірчою ймовірністю або надійністю оцінки, а величина – рівнем значущості оцінки.

Величина довірчого інтервалу суттєво залежить від обсягу вибірки (зменшується зі зростанням ) та від значення довірчої ймовірності (збільшується при зростанні до одиниці). Отже, надійність прийнято вибирати рівною 0,9, 0,95, 0,99 тощо. Тоді подія, яка полягає в тому, що довірчий інтервал накриє точне значення параметру , є практично вірогідною.

Слід зауважити, що інколи довірчий інтервал вибирається симетричним відносно параметра , тобто . У таких випадках величину називають точністю оцінки .

Найбільш просто довірчі інтервали можна знайти для математичного сподівання, стандартного відхилення, дисперсії у випадках, коли генеральна сукупність має нормальний розподіл. Розглянемо саме такі випадки.

32.2. Довірчий інтервал для математичного сподівання нормального розподілу

Нехай є вибірка з генеральної сукупності випадкової величини , розподіленої за нормальним законом з параметрами та . Поставимо задачу побудови довірчого інтервалу для параметра з наперед заданою довірчою ймовірністю . Розділимо задачу на два випадки: 1) дисперсія генеральної сукупності – відома величина; 2) дисперсія генеральної сукупності – невідома.

Отже, нехай відома дисперсія випадкової величини . За вибіркою знайдемо вибіркове середнє

.

Як було вже встановлено (приклад 28.1), вибіркове середнє нормально розподіленої генеральної сукупності є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням та дисперсією .

Задамо ймовірність та знайдемо величину , для якої ймовірність події

.

Із формул попадання нормально розподіленої випадкової величини в заданий інтервал (13.7) маємо

. (32.1)

За таблицею значень функції Лапласа знаходимо аргумент , який дорівнює . Звідси величина . Це значення задає точність шуканого довірчого інтервалу, який в цьому випадку набуває вигляд

.

Приклад 32.1. Побудувати 96 % довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини , якщо дисперсія , а вибіркове середнє, знайдене за вибіркою, дорівнює = 2.

Розв’язання. За умовою задачі довірча ймовірність . Отже, за формулою (32.1) . За таблицею значень функції Лапласа знаходимо аргумент, який відповідає числу 0,48:

Із цієї рівності отримуємо точність довірчого інтервалу Таким чином, довірчий інтервал для математичного сподівання випадкової величини буде таким

.

Тобто із імовірністю 0,96 можна стверджувати, що точне значення математичного сподівання випадкової величини знаходиться в саме цьому інтервалі.

Розв’яжемо задачу побудови довірчого інтервалу для математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини у випадку невідомої дисперсії.

За вибіркою знайдемо вибіркове середнє та виправлену вибіркову дисперсію . Задамо довірчу ймовірність . Довірчий інтервал для математичного сподівання випадкової величини також будемо шукати у вигляді

.

Зауважимо, що статистика , за результатами лекції 23, має розподіл Стьюдента з ступенями вільності. Отже, за таблицею значень розподілу Стьюдента, при заданій надійності і числа , визначимо величину таку, що

.

Із цієї рівності випливає, що

.

Отже, з імовірністю можна стверджувати, що вибіркове середнє дає значення невідомого математичного сподівання з точністю , і довірчий інтервал має вигляд

. (32.2)

Приклад 32.2. Побудувати 96 % довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини , якщо виправлена вибіркова дисперсія , а вибіркове середнє, знайдене за вибіркою, дорівнює = 2.

Розв’язання. На відміну від прикладу 32.1 дисперсія випадкової величини невідома, величина є тільки точковою оцінкою дисперсії. За таблицею значень розподілу Стьюдента по та знаходимо . Отже, точність . Таким чином, за формулою (32.2) знаходимо довірчий інтервал для математичного сподівання

.

Результат цієї задачі означає, що з імовірністю 0,96 довірчий інтервал накриє невідоме математичне сподівання, а вибіркове середнє = 2 визначає значення з точністю 1,86.

Цей інтервал вийшов ширшим в порівнянні з інтервалом прикладу 32.1. Це пов’язано з тим, що міра невизначеності при оцінці математичного сподівання більша, оскільки дисперсія є невідомою величиною.

Зауважимо, що при збільшенні обсягу вибірки розподіл Стьюдента зближується з нормальним розподілом, тому при величину можна визначати з таблиці значень функції Лапласа.