Контрольные вопросы.

1. Понятие дисперсии?

2. Для чего используется «Однофакторный дисперсионный анализ»?

3. Дайте определение понятиям: групповая дисперсия, внутригрупповая дисперсия, межгрупповая дисперсия и общая дисперсия?

4. Что такое Нулевая гипотеза и как она связана с критерием Фишера?

Лабораторная работа 3

ИНСТРУМЕНТ «ДВУХФАКТОРНЫЙ

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ».

Цель: закрепить знания о понятии дисперсия; изучить и научиться применять процедуру расчетов (проверку гипотезы) с помощью «Двухфакторного дисперсионного анализа без повторения» и «Двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями».

Двухфакторный дисперсионный анализ Теория вопроса.

Технология вычисления дисперсий группированных данных, примененная при решении задачи однофакторного дисперсионного анализа, может быть использована и для анализа более сложных производственных ситуаций.

Пример: Пусть на двух различных технологических установках производится выпуск одинаковых изделий. Половину периода выпуска предприятие получает некоторый исходный материал для производства изделий от одного поставщика, а другую половину – от другого. Необходимо установить значимость различия средних значений параметра качества изделий как между установками, так и между поставщиками при условии, что известные или неизвестные дисперсии параметра качества по отдельным изделиям одинаковы. Речь в данном случае идет о двухфакторном дисперсионном анализе.

Двухфакторный дисперсионный анализ без повторения - представляет собой двухфакторный анализ дисперсии, не включающий более одной выборки на группу. Используется для проверки гипотезы о том, что средние значения двух или нескольких выборок одинаковы (выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности). Этот метод распространяется также на тесты для двух средних, такие как t-критерий.

Если на результативный признак одновременно влияет два фактора — А и В, следует использовать метод двухфакторного анализа. Дисперсионный анализ в этом случае имеет свои особенности, так как необходимо учитывать еще и взаимодействие между факторами.

Рассмотрим матрицу наблюдений двухфакторного анализа на примере. Пусть главным фактором будет А (например, влияние на результат способа обработки сырья), а дополнительным — фактор В (например, влияние на результат качества сырья). Предположим, что фактор А принимает К, а фактор В — m различных значений, т.е. К — число типов обрабатывающих станков, а т — число партий сырья (Таблица 5).

Таблица 5. Матрица наблюдений двухфакторного анализа.

Способы обработки
Партия сырья	А11	А2	……	Аk
В1	Y11	Y12	……	Y1k
В2	Y2	Y22	……	Y2k
…..	….	….	……	….
Вm	Ym	Ym2	……	Ymk

Уровни фактора А(способы обработки) — отображаются в таблице по столбцам, а уровни фактора В(партии сырья) — по строкам, образуя блоки.

В каждом блоке отклики могут значимо различаться только за счет различных уровней фактора А, т.е. за счет различных типов обработки. В отличие от матрицы однофакторного анализа, наблюдения в любом столбце не являются однородными, т.е. не образуют выборки, если влияние мешающего фактора значимо.

Как и в случае однофакторного анализа, нулевая гипотеза об отсутствии эффектов обработки имеет вид

, а нулевая гипотеза об отсутствии эффектов блоков .

Величины называются эффектами блоков, они характеризуют отклонения от в результате действия фактора В. Величины называются эффектами обработки, они характеризуют отклонения отклика из-за действия фактора А.

Проверять эту гипотезу, так же как и в задаче однофакторного дисперсионного анализа, можно только при соблюдении следующих требований:

при различных сочетаниях уровней факторов А и В наблюдения независимы;

при каждом сочетании уровней факторов А и В результативный признак имеет нормальный закон распределения с постоянной для различных сочетаний генеральной дисперсией.

Вклады факторов А и В в значения отклика на соответствующих уровнях j и i обозначим через и . Величины вкладов и , не могут быть восстановлены однозначно. Так, увеличение всех . и уменьшение всех , одновременно на одну и ту же константу не изменят значения . Между факторами нет взаимодействия. Таким образом, каждое наблюдение представляется в виде следующей аддитивной модели:

(1.1)

где i= 1, ..., т, a j= 1, ..., К. Предполагается, что для случайных величин справедливо требование , причем дисперсия ; одинакова при всех значениях i и j.

Для однозначного определения вкладов факторов следует использовать отклонения , и отклика от в результате действия факторов А и В, где — это общее среднее значений отклика, его оценкой является величина Следовательно

(1.2)

Общая сумма квадратов Q разбивается уже не на две, а на три части: Q_A и Q_B, обусловленные влиянием факторов, и остаточную часть Q_общ, обусловленную случайной изменчивостью самих наблюдений за счет неучтенных факторов: (1.3) или

(1.4)

где — среднее по j-му столбцу; — оценка эффекта обработки ; — среднее по i-му блоку; — оценка эффекта блока . В целом, базовая таблица имеет вид, как показано в таблице 6.

Таблица 6. Базовая таблица двухфакторного анализа.

Источник дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат (оценка дисперсии)
Главные эффекты
Фактор А
Фактор В
Остаточное рассеяние
Итого

При выполнении гипотезы об отсутствии эффектов обработки, статистики и являются несмещенными оценками общей дисперсии . Поэтому для проверки нулевой гипотезы дисперсия по фактору А сравнивается с остаточной дисперсией. С этой целью вычисляется F-отношение , имеющее F-распределение c степенями свободы. Чем больше различие между эффектами обработки , тем большую тенденцию к возрастанию проявляет F-статистика. На уровне значимости гипотеза отвергается, если где — критическое значение, или если вычисленный уровень значимости для статистики Фишера а_выч < а. В этом случае влияние фактора А на отклик значимо.

Аналогично по F-отношению проверяется гипотеза об отсутствии влияния фактора В.

По F-отношению проверяется значимость двухфакторной модели с независимым действием факторов.

Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями, также используется для выявления факта влияния контролируемых факторов А и В на результативный признак на основе выборочных данных, однако каждому уровню одного из факторов А (или В) соответствует более одной выборки данных.

Microsoft Excel располагает функцией «Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений» и «Двухфакторный анализ с повторением».

Функция «Двухфакторный анализ без повторения» используется для выявления факта влияния контролируемых факторов А и В на результативный признак на основе выборочных данных, причем каждому уровню факторов А и В соответствует только одна выборка.

Для вызова этой функции необходимо на панели меню выбрать команду Сервис > Анализ данных >Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений.

Упражнение 1.

В таблице 7 представлены данные об урожайности (ц /га) четырех сортов пшеницы (четыре уровня фактора А), достигнутой при использовании пяти типов удобрений (пять уровней фактора В). Данные получены на 20 участках одинакового размера и аналогичного почвенного покрова. Определить, влияет ли сорт и тип удобрения на урожайность пшеницы.

Таблица 7. Данные для примера использования функции «Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений».

Последовательность действий:

1. Открыть файл Анализ.xls. Добавить новый лист. Переименовать его дав имя Дисперсия_2. Разместить на листе Дисперсия_2 данные таблицы 7.

2. С помощью команды меню Сервис > Анализ данных вызвать диалоговое окно Анализ данных. Выбрать инструмент анализа — Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений (Рис. 3).

3. Ввести информацию для проведения анализа, а именно установить следующие параметры:

• щелкнуть в поле Входной интервал и ввести диапазон ячеек, содержащий анализируемые данные;

• флажок опции Метки устанавливается в том случае, если первая строка во входном диапазоне содержит заголовки столбцов. Если заголовки отсутствуют, флажок следует сбросить;

• оставить в поле Альфа значение 0,05 (установленное по умолчанию), или изменить его на другое значение в диапазоне от 0 до 1;

• определиться параметры вывода - Новый рабочий лист дав ему имя Итог4.

Р ис. 3. Окно инструмента „Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений”.

Результаты двухфакторного дисперсионного анализа с помощью функции «Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений» представлены в таблице 8.

Как видно по результатам, расчетное значение величины F для фактора А (тип удобрения) , а критическая область образуется правосторонним интервалом (3,49; +∞). Так как не попадает в критическую область, гипотезу принимаем (считаем, что в этом эксперименте тип удобрения не оказал влияния на урожайность).

Расчетное значение величины F для фактора В (сорт пшеницы) а критическая область образуется правосторонним интервалом (3,259; +∞).

Так как не попадает в критическую область, следовательно гипотезу также принимаем (считаем, что в данном эксперименте сорт пшеницы также не оказал влияния на урожайность). Следовательно, выбранные в анализе факторы не оказывают существенного влияния на урожайность, или выбранный объем совокупности недостаточен для проявления зависимостей.

Таблица 8. Результаты двухфакторного дисперсионного анализа данных без повторений.