Тема 2. Описательная статистика Теория вопроса.

Описательная статистика — самый распространенный прием анализа числовых данных, с помощью которого вычисляются статистические оценки случайной величины. Они позволяют определить тенденцию развития явления или процесса, нивелировать случайные индивидуальные отклонения, подсчитать риск того или иного решения и, кроме того, сравнить различные вариационные ряды.

Показатели описательной статистики можно условно разделить на четыре группы.

Показатели уровня – описывают положение данных на числовой оси. К такого рода показателям относятся минимальный и максимальный элементы выборки, верхний и нижний квартили, персентиль, а также различные средние и другие характеристики.

Показатели рассеяния – описывают степень разброса данных относительно своего центра. Примерами таких показателей являются, прежде всего, дисперсия, стандартное отклонение, размах выборки, межквартильный размах и т.д.

Показатели асимметрии – характеризуют симметрию распределения данных около своего центра. К этой группе показателей относятся коэффициент асимметрии, эксцесс, положение медианы относительно среднего и т.д.

Показатели, описывающие закон распределения данных. К ним относятся таблицы частот, кумуляты, полигоны и т.д.

Опишем содержание основных статистических функций.

Средние значения случайной величины имеют ту же размерность, что и сама случайная величина, и вычисляются:

• средняя арифметическая для оценки математического ожидания случайной величины — функция СРЗНАЧ;

• средняя геометрическая для оценки средних темпов роста, нахождение значения, равноудаленного от других значений — функция СРГЕОМ;

• средняя гармоническая для оценки средней суммы обратных величин — функция СРГАРМ.

Основные характеристики случайной величины:

число значений — функция СЧЕТ;

сумма значений — функция СУММ;

дисперсия — характеризует разброс значений случайной величины около средней арифметической, размерность дисперсии — размерность случайной величины в квадрате. Различают дисперсию по выборочной совокупности значений случайной величины — функция ДИСП и по генеральной совокупности — функция ДИСПР;

стандартное отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина. Различают стандартное отклонение по выборке — функция СТАНДОТКЛОН, стандартное отклонение по генеральной совокупности — СТАНДОТКЛОНП;

средний модуль отклонений, нивелируется знак отклонения от среднего, является показателем силы вариации — функция СРОТКЛ;

доверительный интервал для среднего значения случайной величины — функция ДОВЕРИТ;

средняя квадратическая ошибка среднего — вычисляется как отношение СТАНДОТКЛОН к корню квадратному из числа элементов выборки;

минимальное значение случайной величины — функция МИН;

максимальное значение случайной величины — функция МАКС;

интервал — размах вариации, равный разности максимального и минимального значений случайной величины;

порядковое наибольшее значение случайной величины — функция НАИБОЛЬШИЙ;

порядковое наименьшее значение случайной величины — функция НАИМЕНЬШИЙ

Мера взаимного расположения данных в массиве значений характеризуется с помощью функций МОДА, КВАРТИЛЬ, МЕДИАНА, ПЕРСЕНТИЛЬ, ПРОЦЕНТРАНГ.

Мода — наиболее вероятное значение случайной величины. При симметричном распределении относительно среднего мода совпадает с математическим ожиданием. Если значения случайной величины не повторяются, мода отсутствует.

Медиана − это значение признака, которое разделяет совокупность на две равные по числу элементов части. Ее аргументом является интервал ячеек.

Множество значений случайной величины делится на 4 равные части по числу переменных — квартили. В квартилях значения переменных упорядочены по возрастанию. Указывается номер части (квартиля) и соответствующее начальное значение переменной определенного квартиля:

0 — минимальное значение;

1 — значение 25-го персентиля (персентиль — одна сотая доля массива значений случайной величины);

2 — значение 50-го персентиля или медианы;

3 — значение 75-го персентиля;

4 — максимальное значение.

Форма распределения случайной величины характеризуется значениями асимметрии и эксцесса — функции СКОС и ЭКСЦЕСС соответственно.

Асимметрия служит для оценки симметричности распределения случайной величины относительно средней. Если асимметрия — положительное число, распределение имеет сдвиг в сторону положительных значений, иначе — в сторону отрицательных значений.

Эксцесс является характеристикой остроконечности или сглаженности кривой распределения плотности вероятности случайной величины. Эксцесс равен нулю для нормального распределения, положителен для остроконечных и отрицателен для сглаженных по сравнению с нормальной плотностью распределения

Пакет анализа обеспечивает наиболее быстрый способ формирования описательной статистики. Команда меню Сервис > Анализ данных вызывает диалоговое окно. Инструменты анализа, в котором выбирается Описательная статистика. Исходные данные для анализа располагаются в ячейках строк или столбцов таблицы и могут иметь метки. Для входного интервала указывается ориентация — по строкам или столбцам, наличие метки строки или столбца.

Описательная статистика вычисляет статистические показатели: среднее, стандартная ошибка, медиана, мода, стандартное отклонение, дисперсия выборки, эксцесс, асимметричность, интервал, минимум, максимум, сумма, счет, k-й наименьший, k-й наибольший, доверительный интервал для заданного уровня надежности. Результаты описательной статистики выводятся в указанное место (текущий лист, другой лист, новая книга)