Контрольные вопросы.

1. В чем состоит основная идея применения метода сглаживания?

2. Какой вид имеет Базовое уравнение метода сглаживания?

3. В чем отличие метода сглаживания от методов, основанных на регрессии?

4. В чем суть средства Экспоненциальное сглаживание? Как его вызвать?

5. Что такое Автокорреляция?

6. Какой функцией можно воспользоваться для проведения проверки автокорреляции?

Лабораторная работа № 12.

АНАЛИЗ МОДЕЛИ С АДДИТИВНОЙ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ.

Цель: Ознакомиться и научиться анализировать прогнозные модели с аддитивной и мультипликативной компонентой.

Теория вопроса.

Моделью с аддитивной компонентой называется такая модель, в которой вариация значений переменной во времени наилучшим образом описывается путем сложения отдельных компонент.

В моделях как с аддитивной, так и с мультипликативной компонентой общая процедура анализа примерно одинакова:

Алгоритм построения прогнозной модели.

Для прогнозирования объема продаж, имеющего сезонный характер, предлагается следующий алгоритм построения прогнозной модели:

1. Определяется тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. Существенным моментом при этом является предложение использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели.

2. Вычитая из фактических значений объемов продаж значения тренда, определяют величины сезонной компоненты и корректируют их таким образом, чтобы их сумма была равна нулю. Этот процесс называется десезонализацией данных. Расчет тренда на основе получeнных десезонализированных данных.

3. Рассчитываются ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.

4. Строится модель прогнозирования: ,

где F — прогнозируемое значение; Т —тренд; S — сезонная компонента; Е — ошибка модели.

Расчет среднего отклонения или среднеквадратической ошибки для обоснования соответствия модели исходным данным или для выбора из множества моделей наилучшей.

5. На основе модели строится окончательный прогноз объема продаж. Для этого предлагается использовать методы экспоненциального сглаживания, что позволяет учесть возможное будущее изменение экономических тенденций, на основе которых построена трендовая модель. Сущность данной поправки заключается в том, что она нивелирует недостаток адаптивных моделей, а именно позволяет быстро учесть наметившиеся новые экономические тенденции:

, где F_{пр t} — прогнозное значение объема продаж; F_{ф t–1} — фактическое значение объема продаж в предыдущем году; F_мt — значение модели; а — константа сглаживания.

Практическая реализация данного метода выявила следующие его особенности:

• для составления прогноза необходимо точно знать величину сезона. Исследования показывают, что множество продуктов имеют сезонный характер; величина сезона при этом может быть различной и колебаться от одной недели до десяти лет и более;

• применение полиномиального тренда вместо линейного позволяет значительно сократить ошибку модели;

• при наличии достаточного количества данных метод дает хорошую аппроксимацию и может быть эффективно использован при прогнозировании объема продаж в инвестиционном проектировании.

Представим один из возможных алгоритмов построения прогноза объема реализации для продуктов с сезонным характером продаж. Сразу следует отметить, что перечень таких товаров гораздо шире, чем это кажется. Дело в том, что понятие «сезон» в прогнозировании применимо к любым систематическим колебаниям — например, если речь идет об изучении товарооборота в течение недели под термином «сезон» понимается один день. Кроме того, цикл колебаний может существенно отличаться (как в большую, так и в меньшую сторону) от величины в один год. И если удается выявить величину цикла этих колебаний, то такой временной ряд можно использовать для прогнозирования с использованием аддитивных и мультипликативных моделей.

Аддитивную модель прогнозирования можно представить в виде формулы: ,

где F — прогнозируемое значение; Т — тренд; S — сезонная компонента; Е — ошибка прогноза.

Применение мультипликативных моделей обусловлено тем, что в некоторых временных рядах значение сезонной компоненты представляет собой определенную долю трендового значения. Эти модели можно представить формулой:

На практике отличить аддитивную модель от мультипликативной можно по величине сезонной вариации. Аддитивной модели присуща практически постоянная сезонная вариация, тогда как у мультипликативной она возрастает или убывает; графически это выражается в изменении амплитуды колебания сезонного фактора (Рис. 18).

Р ис. 18. Аддитивная и мультипликативная модель.

Если когда-либо вам понадобится прогнозировать объемы продаж, то вам наверняка нужно будет учитывать тенденции сезонности, так как данные о продажах и соответствующие им временные ряды зачастую носят именно сезонный характер. Например, объемы продаж могут достигать пика в начале года (рождественские и новогодние праздники), а затем, до начала следующего года, постепенно возвращаться к исходному, более низкому уровню.

Причиной такого положения дел может стать природа продукции: например, спрос на теплую верхнюю одежду весной и летом намного ниже, чем осенью и зимой. Сезонность объемов продаж может также объясняться особенностями финансового года: покупатели обычно увеличивают объемы закупок в тот период года, когда объем денежной массы максимален. В подобных случаях методы регрессии и простого сглаживания могут оказаться неприменимыми для прогнозирования тенденций сезонности.

Когда временной ряд отражает тенденции сезонности, изменение формулы сглаживания просто необходимо. При сезонном прогнозировании прогноз не просто составляется на основе предшествующих результатов наблюдений, он базируется на двух компонентах:

1. Компонент тренда представляет тенденцию в базовой линии либо к повышению, либо к понижению.

2. Компонент сезонности представляет любое резкое понижение, повышение или пик базовой линии, которые происходят с одинаковыми промежутками времени.

Процесс сезонного сглаживания проходит две фазы: фазу инициализации, во время которой определяются размеры тенденции и величина компонентов сезонности, и фазу прогнозирования. На основе этих компонентов разрабатываются перспективные оценки.

Упражнение 1.

В таблице 21 представлены объёмы сбыта мороженого “Пломбир» за два сезона. Составить прогноз продаж продукции на следующий год по месяцам.

Последовательность действий:

1. Открыть рабочую книгу Анализ.х1s;

2. Добавить лист Сезон. В качестве исходных значений используем данные таблицы 21;

3. Построим диаграмму с помощью Мастера диаграмм (табл. 21), выполнив последовательно 4 шага Мастера диаграмм;

• на 1 - ом шаге выбрать Тип диаграммы> График > нажать Далее;

• на 2 - ом указать диапазон ячеек С2:С25;

• на 3 – ем указать параметры диаграмм;

• на 4-ом указать размещение диаграммы > завершить построение диаграммы нажатием клавиши Готово.

Таблица 21. Объём сбыта мороженого “Пломбир» за два сезона.

Получится график, представленный на рис. 19.

Рис.19. График объёма сбыта мороженого “Пломбир» за два сезона.

4. Определяем тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. (Для этого рекомендуется использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели);

5. Щелкнем правой кнопкой мыши по графику > Исходные данные > вкладка Ряд > в поле Имя: набрать Фактические данные > Оk;

6. Щелкнем правой кнопкой мыши по графику > Добавить линию тренда > на вкладке Тип выберем Линейная > на вкладке Параметры поставим флажки: поставить уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)> Оk;

7. Аналогично создадим полиномиальный тренд. Щелкнем правой кнопкой мыши по графику > Добавить линию тренда > на вкладке Тип выберем Полиномиальная > поставим Степень равную 5 > на вкладке Параметры поставим флажки: поставить уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2) > Оk;

8. Получим диаграммы, представленные на рис. 20.

Рис. 20. Сравнительный анализ полиномиального и линейного тренда.

На рисунке показано, что полиномиальный тренд аппроксимирует фактические данные гораздо лучше, чем предлагаемый обычно в литературе линейный. Коэффициент детерминации полиномиального тренда (0,7181) гораздо выше, чем линейного (4E-05). Применение других типов тренда (логарифмический, степенной, экспоненциальный, скользящее среднее) также не даёт такого эффективного результата. Они неудовлетворительно аппроксимируют фактические значения, коэффициенты их детерминации ничтожно малы:

• логарифмический R² = 0,0166;

• степенной R² = 0,0197;

• экспоненциальный R² = 8Е-05.

9. Выполним расчет тренда (T) на основе полученного на диаграмме уравнения полинома и, вычитая из фактических значений объёмов продаж значения тренда, определим величины сезонной компоненты, используя при этом таблицу 22;

Таблица 22. Расчёт значений сезонной компоненты.

10. Заполняем таблицу исходными данными, вычисляем значения точек тренда по формуле, определенной на диаграмме, затем в ячейку Е2 вводим формулу C2-D2, с помощью инструмента Автозаполнение протягиваем эту формулу до конца ячейки Е25 (см. Алгоритм расчета в таблице 22).

Скорректируем значения сезонной компоненты таким образом, чтобы их сумма была равна нулю.

Последовательность действий:

11. Открыть рабочую книгу Анализ.х1s;

12. Добавим лист Сезон2. В качестве исходных значений используем данные и алгоритм расчета, представленные в таблице 23. Полученная сезонная компонента (S) станет элементом построения модели прогнозирования: .

Таблица 23. Расчет средних значений сезонной компоненты.

13. Рассчитываем ошибки модели (Е) как разности между фактическими значениями и значениями модели.

Последовательность действий:

14. Открыть рабочую книгу Анализ.х1s;

15. Добавим лист Сезон_ошибка. Расчеты выполним в таблице 24, используя представленный в ниже данных алгоритм расчета;

Таблица 24. Расчёт ошибок.

14) Находим среднеквадратическую ошибку модели (Е) по формуле: , где: Т — трендовое значение объёма продаж; S — сезонная компонента; О — отклонения модели от фактических значений

Е= 0,03307 или 3.3 %

Величина полученной ошибки позволяет говорить, что построенная модель хорошо аппроксимирует фактические данные, т.е. она вполне отражает экономические тенденции, определяющие объём продаж, и является предпосылкой для построения прогнозов высокого качества.

Построим модель прогнозирования:

F = T + S ± E

Построенная модель представлена графически на рис. 21.

Рис. 21. Модель прогнозирования.

15) На основе модели строим окончательный прогноз объёма продаж. Для смягчения влияния прошлых тенденций на достоверность прогнозной модели, предлагается сочетать трендовый анализ с экспоненциальным сглаживанием. Это позволит нивелировать недостаток адаптивных моделей, т.е. учесть наметившиеся новые экономические тенденции:

F_{пр t} = a F_{ф t-1} + (1-а) F_{м t}

где: F_{пр t} — прогнозное значение объёма продаж;

F_{ф t-1} — фактическое значение объёма продаж в предыдущем году;

F_{м t} — значение модели;

а — константа сглаживания.

Константу сглаживания рекомендуется определять методом экспертных оценок, как вероятность сохранения существующей рыночной конъюнктуры, т.е. если основные характеристики изменяются и колеблются с той же скоростью и амплитудой что и прежде, значит предпосылок к изменению рыночной конъюнктуры нет, и следовательно а < 1, если наоборот, то а > 0.

Таким образом, прогноз на январь третьего сезона определяется следующим образом.

Определяем прогнозное значение модели:

F_{м t} = 2273,7 + (-50,56) = 2223 ± (2223*0,033)(грн.)

Фактическое значение объёма продаж в предыдущем году (F_{ф t-1}) составило 2 361 грн. Принимаем коэффициент сглаживания 0.8. Получим прогнозное значение объёма продаж:

F_{пр t} = 0,8*2 361 + (1-0.8)*2223 = 2334 (грн.)

Для учёта новых экономических тенденций рекомендуется регулярно уточнять модель на основе мониторинга фактически полученных объёмов продаж, добавляя их или заменяя ими данные статистической базы, на основе которой строится модель.

Кроме того, для повышения надёжности прогноза рекомендуется строить все возможные сценарии прогноза и рассчитывать доверительный интервал прогноза.

Задания для самостоятельной работы.

Задача № 10. (Приложение 1)

Задача № 10. (Приложение 2)