5.2. Использование графического метода.
Теория вопроса.
Использование диаграмм (линий тренда) Excel – наиболее наглядный и информативный способ исследовать связь между двумя переменными.
Сущность и основные формы трендов
Трендом называется выражение тенденции в форме достаточно простого и удобного уравнения, наилучшим образом аппроксимирующего (приближающего) истинную тенденцию динамического ряда.
Линия тренда - это наклонная линия, проведенная через две или несколько важных точек на ценовом графике. Восходящая тенденция обозначается линией тренда, которая проводится через две или несколько впадин (минимумов) и служит линией поддержки. Нисходящая тенденция обозначается линией тренда, которая проводится через два или несколько пиков (максимумов) и служит линией сопротивления.
По форме тренды могут быть линейными, параболическими, экспоненциальными, логарифмическими, степенными, гиперболическими, полиномиальными, логистическими и другими. Excel 97-2000 предоставляют инструменты построения линейного, экспоненциального, логарифмического, степенного и полиномиального (до полинома 6-й степени) трендов, а также скользящую среднюю.
Арифметическая (линейная) форма тренда: ,
где m - угол наклона и b - координата пересечения оси абсцисс.
Линейная аппроксимация — это прямая линия, наилучшим образом описывающая набор данных. Она применяется в самых простых случаях, когда точки данных расположены близко к прямой. Говоря другими словами, линейная аппроксимация хороша для величины, которая увеличивается или убывает с постоянной скоростью.
В приведенном ниже примере линейное приближение показывает равномерное увеличение объема продаж холодильников в течение 13 лет. Следует заметить, что значение R-квадрат в данном случае составляет 0,9036. Это свидетельствует о достаточно хорошем согласовании линии аппроксимации с фактическими данными.
Логарифмическая
аппроксимация
хорошо описывает величину, которая
вначале быстро растет или убывает, а
затем постепенно стабилизируется.
Описывает как положительные, так и
отрицательные величины:
,
где c
и b
- константы, ln - функция натурального
логарифма.
Приведенный ниже пример использует логарифмическое приближение для иллюстрации прогнозируемого роста популяции животных на ограниченной территории. По мере того как свободного пространства становится все меньше, темпы роста популяции также снижаются. Следует заметить, что значение R-квадрат в данном примере равно 0,9407; это указывает на то, что аппроксимирующая кривая описывает данные с достаточно высокой степенью достоверности.
Полиномиальная
аппроксимация используется для описания
величин, попеременно возрастающих и
убывающих. Она полезна, например, для
анализа большого набора данных о
нестабильной величине. Степень полинома
определяется количеством экстремумов
(максимумов и минимумов) кривой. Полином
второй степени может описать только
один максимум или минимум. Полином
третьей степени имеет один или два
экстремума. Полином четвертой степени
может иметь не более трех экстремумов:
,
где b
и
— константы.
Ниже на примере аппроксимации полиномом второго порядка (одна вершина) показана зависимость скорости от потребления топлива. Следует заметить, что значение R-квадрат в данном случае составляет 0,9474. Это достаточно хорошо согласуется с фактическими данными.
Степенное
приближение
дает хорошие результаты, если зависимость,
которая содержится в данных, характеризуется
постоянной скоростью роста. Примером
такой зависимости может служить график
ускорения автомобиля. Если в данных
имеются нулевые или отрицательные
значения, использование степенного
приближения невозможно:
,
где c
и b
- константы.
Ниже показан пример зависимости пройденного расстояния от времени (в секундах). По степенной линии тренда ясно видно увеличение ускорения. Обратите внимание, что значение R-квадрат в данном примере равно 0,9923. Это говорит о высокой точности используемого приближения.
Э
кспоненциальное
приближение следует использовать в том
случае, если скорость изменения данных
непрерывно возрастает. Однако для
данных, которые содержат нулевые или
отрицательные значения, этот вид
приближения неприменим:
,
где c
и b
- константы, e
- основание натурального логарифма.
На приведенном ниже на примере экспоненциальное приближение иллюстрирует процесс распада углерода 14. Следует заметить, что значение R-квадрат здесь равно 1, то есть линия приближения идеально соответствует данным.
Многие экспериментальные данные можно интерпретировать как временные ряды - последовательность измерений, полученных в определенные моменты времени ti, где i - порядковый номер измерения на оси времени. Такие ряды характеризуются некоторой тенденцией развития процесса во времени и называются трендовыми. Используя трендовые модели, можно выдавать прогнозы на краткосрочный и среднесрочный периоды. Excel имеет средства для создания трендовых моделей встроенные в построитель диаграмм.
Одной
из форм трендовых моделей при постоянном
шаге по времени является линейная:
В работе с рядами динамики используется достаточно широкий круг средств электронной таблицы. Для облегчения изучения эти средства разделяются по роли в технологическом процессе на: вспомогательные, промежуточные и основные.
I. Вспомогательные инструменты ускоряют построение числовых рядов периодов времени. Сюда входят опции Правка, Заполнить, Прогрессия и диалоговое окно Прогрессия, а также недиалоговая организация "растягивания" двухклеточного ряда до необходимого диапазона. Последняя возможность удачно организована лишь в версиях Excel, начиная с седьмой. Версия же Excel 97 еще более эффективна, поскольку позволяет растягивать в ряд даже одноклеточное значение, имеющее формат даты.
II. Промежуточные инструменты Excel-технологии задействуются обязательно и строят XY-графики зависимости показателя от времени. XY-график - это самостоятельный информационный продукт и в то же время (с точки зрения аналитика трендов) -полуфабрикат, необходимый для доступа к инструментам моделирования трендов. В Excel инструментарий расчета и моделирования трендов до получения таких графиков заблокирован. (Альтернативная возможность: в некоторых статистических пакетах, например, в SPSS, сначала вычисляются параметры уравнения тренда, а затем выводится графическая модель тренда.)
III. Основные Excel-инструменты для работы с динамическими рядами охватывают две группы:
1) средства построения графического и математического выражения тренда, куда относятся опция Добавить линию тренда и три ее диалоговых окна:
окно Тип - выбор формы тренда,
окно Формат линии тренда,
окно Параметры - добавление на график метки тренда (с математическим видом уравнения и коэффициентом детерминации), а также задание количества периодов для графического прогноза по тренду (вперед или назад);
2) средства получения прогноза в числовом виде и его оценки:
для расчета прогноза в одной точке на основе линейного тренда предназначена функция ПРЕДСКАЗ (в Excel 97) из группы статистических функций;
для одновременного сглаживания исходных уровней и расчета прогноза в нескольких точках по разным трендам можно использовать однофакторную what-if модель и ее опцию Таблица подстановки (в Excel 97);
для расчета доверительного интервала прогноза используется инструмент из группы средств анализа данных Описательные статистики, если рассматривается генеральная совокупность; в других случаях применяется серия стандартных статистических функций;
СТАНДОТКЛОН и СТАНДОТКЛОНП- соответственно стандартное отклонение по выборке и по генеральной совокупности;
СЧЕТ - количество чисел (наблюдений) или размер совокупности;
ДОВЕРИТ - доверительный интервал.