Пусть определена на .
Определение
12. Функция
называют непрерывной
в точке
,
если
– предельная точка множества X;
– определена в точке
и
.
На
языке «
»
последнее означает, что
,
такое, что
.
Другими
словами, если
,
то тогда
.
Если
не является непрерывной в точке
,
то она называется разрывной
в этой точке,
а точку
называют точкой
разрыва.
Можно доказать, что всякая элементарная
функция
является непрерывной в каждой точке, в
которой она определена.
Примеры.
1) Исследовать
функцию
на непрерывность.
Решение.
Функция всюду определена и непрерывна,
кроме точки
.
Ранее было показано, что
.
Тогда точка (0, 0) является точкой
устранимого разрыва, т.к.
неопределенна, но предел существует и
равен 0. Если доопределить
,
то получим непрерывную функцию.
2)
Исследовать функцию
на непрерывность.
Решение.
Функции
и
непрерывны при всех
как многочлены. По теореме о непрерывности
суперпозиции непрерывных функций
вытекает, что
и
непрерывны. Так как
при любых значениях
и
,
то
непрерывна.
Определение
13. Функция
называется непрерывной
на множестве
,
если она непрерывна в каждой точке этого
множества.
Как и для функций одной переменной справедливы следующие утверждения.
• Если
функции
и
определены на множестве
и непрерывны в точке
,
то в
определены и непрерывны функции
,
,
.
• Если
определена и непрерывна в
,
тогда существует окрестность точки
,
в которой выполняется условие
.
Это означает, что функция ограничена в
окрестности этой точки.
• Если
определена и непрерывна в точке
и
,
то существует такая окрестность этой
точки, в которой
сохраняет знак.
• Если
функции
,
,
…,
непрерывны в точке
,
а функция
непрерывна в точке
,
где
,
,
то сложная функция
непрерывна в точке
.
Эти теоремы доказываются так же, как теоремы для функций одной переменной. Справедлива также теорема.
Теорема
4 (Коши о
прохождении непрерывной функции через
любое промежуточное значение). Пусть
непрерывна на линейно-связанном множестве
,
причем
и
значения
в точках
,
а
такое, что
.
Тогда на любой непрерывной кривой Г,
соединяющей точки
и
,
целиком принадлежащей
Х существует
такая точка
,
что
.
Пусть
,
,
…,
,
– параметрические уравнения кривой
,
соединяющей точки
и
из множества
и
.
Тогда на отрезке
определена сложная функция одной
переменной
,
где
.
Очевидно, значение этой функции на
отрезке
совпадают со значениями
на
.
По теореме о непрерывной сложной функции
она непрерывна, а, следовательно, по
теореме о прохождении промежуточных
значений для функции одной переменной
:
.
Поэтому в точке
,
координаты которой
,
,
…,
будет справедливо равенство
.
Определение
14. Функция
называется равномерно-непрерывной
на множестве
,
если для любого положительного
найдется такое положительное число
,
что для
и
из множества Х
таких, что при
выполняется неравенство
.
Это же
определение на языке
записывается следующим образом
.
Имеют место утверждения, аналогичные теоремам для функции одной переменной.
• Если
функция
определена и непрерывна на ограниченном
замкнутом множестве
,
то
ограничена на этом множестве (первая
теорема Вейерштрасса).
• Если
функция
определена и непрерывна на ограниченном
замкнутом множестве
,
то
достигает на
точных верхней и нижней граней, т.е.
(вторая теорема Вейерштрасса).
• Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то равномерно непрерывна на множестве (теорема Кантора).