Глава 7. Функции нескольких переменных
7.1. Пространство Rn. Множества в линейном пространстве.
Множество,
элементами которого являются всевозможные
упорядоченные наборы из n
действительных чисел
,
обозначается
и называется n-мерным
арифметическим пространством,
а число
n
называется размерностью
пространства.
Элемент
множества
называется точкой
пространства, или вектором,
а числа
координатами
этой точки. Точка
=(0,
0, …0) называется нулевой
или началом координат.
Пространство
– есть множество действительных чисел,
т.е.
– числовая прямая;
и
– есть двумерная координатная
геометрическая плоскость и трехмерное
координатное геометрическое пространство
соответственно. Векторы
,
,
…,
называются единичным
базисом.
Для
двух элементов
,
множества
определяются понятия суммы элементов
и произведения элемента на действительное
число:
Очевидно,
что
и
в силу этого определения и свойств
действительных чисел справедливы
равенства:
;
;
)
:
:
;
;
.
Согласно этим свойствам, пространство называется также линейным (векторным) пространством.
В
линейном пространстве
определяется скалярное
произведение
элементов
и
как действительное число, вычисляемое
по следующему правилу:
,
(1)
Число
называется длиной
вектора
или нормой
.
Векторы
и
называются ортогональными,
если
.
Величина
,
)=
│
-
│
=
называется расстоянием между элементами и .
Если
и
ненулевые векторы, то углом
между ними называется угол
,
такой, что
.
Легко
убедиться, что для любых элементов
и действительного числа
,
выполняются скалярного произведения:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
,
при
.
Линейное пространство с определенным в нем по формуле (1) скалярным произведением называется евклидовым пространством.
Пусть
точка
и
.
Множество всех точек
для которых выполняются неравенства
,
называется
n-мерным
кубом с
ребром
и с центром в точке
.
Например, двумерный куб есть квадрат
со стороной
с центром в точке
.
Множество
точек
,
удовлетворяющих неравенству
,
называются n-мерным
шаром радиуса
с центром в точке
,
который также называют
-окрестностью
точки
в
и обозначают
,
т.е.
.
Таким
образом, одномерный шар
есть интервал длиной
.
Двумерный шар
есть круг, для которого выполняется неравенство
.
Определение
1. Множество
называется ограниченным,
если существует
n
- мерный шар,
содержащий это множество.
Определение
2. Функция,
заданная на множестве натуральных чисел
и принимающая значения, принадлежащие
,
называется последовательностью
в пространстве
и обозначается
,
где
.
Определение
3. Точка
называется пределом
последовательности
,
если для произвольного положительного
числа
существует натуральное число
,
такое что для любого числа
выполняется неравенство
.
Символически это определение записывается следующим образом:
.
Обозначение:
.
Из
определения 3 следует, что
,
при
.
Такая последовательность называется
сходящейся
к
.
Если последовательность не является сходящейся ни к одной точке, то она называется расходящейся.
Теорема
1. Для того
чтобы последовательность
сходилась к точке
необходимо и достаточно, чтобы для
любого номера
выполнялось
,
т.е. чтобы последовательность i
- х координат
точек
сходилась к i
- й координате
точки
.
□ Доказательство следует из неравенств
.
Последовательность называется ограниченной, если множество её значений ограничено, т.е.
.
Как и числовая последовательность, сходящаяся последовательность точек ограничена и имеет единственный предел.
Определение
4.
Последовательность
называется фундаментальной
(последовательностью
Коши),
если для любого положительного числа
можно указать такое натуральное число
,
что для произвольных натуральных чисел
и
,
больших
,
выполняется
,
т.е.
:
.
Теорема
2 (критерий
Коши). Для того чтобы последовательность
была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы она была фундаментальной.
□ Необходимость.
Пусть
сходится к точке
.
Тогда
получаем последовательность
,
сходящуюся к
.
В
силу критерия Коши для действительных
чисел каждая из этих числовых
последовательностей фундаментальная.
Отсюда для любого произвольного
положительного числа
найдется
такое, что для произвольных положительных
и
,
больших, чем
,
выполнится
.
Обозначим
.
Тогда при
имеет место неравенство
.
А это означает, что последовательность фундаментальная.
Достаточность. Пусть – фундаментальная последовательность. Тогда из неравенств
следует,
что каждая из числовых последовательностей
фундаментальна. В силу критерия Коши
для действительных чисел каждая из этих
последовательностей сходится:
.
Следовательно, по теореме 1 последовательность
сходится.
В пространстве существуют различные типы точек и множеств.
• Точка
множества
называется внутренней
точкой этого
множества, если существует
-
окрестность
содержащаяся в X:
.
• Множество, каждая точка которого является его внутренней точкой, называется открытым множеством в . Понятно, что пространство является открытым множеством.
• Точка называется точкой прикосновения множества X, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку множества Х.
• Точка называется изолированной точкой множества Х, если существует окрестность этой точки, не содержащая других точек множества Х, отличных от .
• Точка называется предельной точкой множества Х, если в любой её окрестности содержится хотя бы одна точка множества, отличная от .
• Точка называется граничной точкой множества Х, если любая ее окрестность содержит как точку, принадлежащую множеству Х, так и точку, не принадлежащую множеству Х.
Все
граничные точки множества Х
называются границей
множества Х
и обозначают
.
Пример.
Для множества
определить
внутренние, предельные, изолированные
и граничные точки, а также точки
прикосновения.
Решение. Внутренние
точки – все точки круга.
Точки прикосновения – все точки
множества. Изолированная точки
.
Предельные точки – точки
множества
.
Граничные точки – точки,
удовлетворяющие уравнениям:
,
и
.
• Множество
Х
называется замкнутым,
если оно содержит все свои точки
прикосновения. Множество всех точек
прикосновения называют замыканием
множества Х
и обозначают
.
• Если
и
,
то число
называют расстоянием
между множествами X
и Y.
Диаметром
множества
Х
называют число
.
• Непрерывной
кривой Г
в
называется множество точек
,
координаты которых есть непрерывные
функции параметра
,
заданного на отрезке
,
т.е.
,
,
…,
,
где
.
Число
называют параметром, а сами уравнения
параметрическими
уравнениями кривой.
Например,
система уравнений
,
,
…,
при
и
задает прямую
в
.
Если
,
то эта система задает отрезок
прямой.
• Множество
называют линейно-связанным,
если любые две его точки можно соединить
непрерывной кривой, принадлежащей этому
множеству. Линейно-связанное открытое
множество Х
называют областью
в
.
Если Х –
область, то
ее замыкание
называют
замкнутой
областью.
• Множества X и Y называют отделимыми, если ни одно из них не содержит точек прикосновения другого.
• Множество Х называют связанным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух отделимых множеств.
• Множество Х называют выпуклым, если любые его две точки можно соединить отрезком, целиком принадлежащим этому множеству.
Пример. Опираясь на сформулированные выше определения, можно утверждать, что
– связанное,
линейно-связанное, открытое, невыпуклое
множество, является областью.
– связанное,
линейно-связанное, неоткрытое, невыпуклое
множество, не является областью.
– несвязанное,
не линейно-связанное, открытое, невыпуклое
множество, не является областью.
– несвязанное,
не линейно-связанное, открытое множество,
не является областью.
– связанное,
линейно-связанное, открытое множество,
является областью.