3. Методы решения матричных игр при отсутствии седловой точки

   1. Смешанные стратегии

Вслучае отсутствия седловой точки, в качестве решения игры используются так называемыесмешанные стратегии

,

где p_i и q_j– вероятности выбора стратегийA_i и B_jигрокамиAиB соответственно. Решением игры в данном случае является пара оптимальных смешанных стратегий (S_A^*, S_B^*), максимизирующих математическое ожидание цены игры (средний выигрыш).

Теорема 3.2 [6]. Любая антагонистическая игра имеет хотя бы одно оптимальное решение, т.е., пару в общем случае смешанных стратегий (S_A^*, S_B^*), дающих игрокуАустойчивый выигрыш, равный цене игрыV, α ≤ V ≤ β.

Чистую стратегию можно рассматривать как частный случай смешанной стратегии, когда одна вероятность имеет единичное значение, а все остальные – нулевое.

Рассмотрим матричную игру G(mn), не имеющую седловой точки, для которой необходимо найти решение – пару оптимальных смешанных стратегийS_A = (p₁,p₂,…,p_m) иS_B = (q₁, q₂,…,q_n) и соответствующую цену игрыV.

Предварительно следует попытаться упростить матрицу игры. Для этого вводятся отношения предпочтения (доминирования) и безразличия (дублирования) на множестве стратегий.

Определение 3.3:

• стратегия A_iпредпочтительнеестратегииA_k(доминирует A_k) (обозначается), если все выигрыши, указанные вi-й строке матрицы игры, не меньше соответствующих выигрышейk-й строки, или формально;

• стратегии A_iиA_kнаходятся вотношении безразличия(дублирования) (обозначаетсяA_iA_k), если все выигрыши, указанные вi-й строке матрицы игры, совпадают с соответствующими выигрышамиk-й строки, или формально;

• стратегия B_jпредпочтительнеестратегииB_r(доминирует B_r) (обозначается), если все выигрыши, указанные вj-м столбце матрицы игры, не меньше соответствующих выигрышейr-го столбца, или формально;

• отношение безразличия для стратегий игрока Bвводится аналогично игрокуA, т.е..

Можно доказать следующую лемму [5].

Лемма 3.2.Для игрыG(mn) числоактивных стратегийигроков равноmin{m,n}. Другими словами, если, например,m>n, то в оптимальной стратегииS_A = (p₁,p₂,…,p_m) игрокаAбудет не болееnотличных от нуля вероятностейp_i.

Таким образом, предварительным этапом решения матричной игры является ее упрощение, т.е. удаление из матрицы доминируемых и дублируемых стратегий.

Рассмотрим данный этап на примере матричной игры G(55), представленной табл. 3.7.

Таблица 3.8

Bj Ai	B1	B2	B3	B4	B5
A1	4	7	2	3	4
A2	3	5	6	8	9
A3	4	4	2	2	8
A4	3	6	1	2	4
A5	3	5	6	8	9

Так как справедливы соотношения,,,,, то удалим доминируемые и дублируемые стратегииA₄, A₅, B₂, B₄, B₅.

В полученной матрице снова проведём удаление, так как . Получим упрощенную игруG(22), представленную табл. 3.8.

Таблица 3.9

Bj Ai	B1	B3
A1	4	2
A2	3	6

Нетрудно убедиться, что данная игра не имеет седловой точки и необходимо искать решение в смешанных стратегиях.

После упрощения игры следующим (основным) этапом является поиск оптимального решения в виде смешанных стратегий (S_A,S_B), применяя точные или приближенные методы.