1. Контрольные вопросы к разделу 2

1. Перечислите возможные виды представления антагонистической игры.

2. Дайте определение класса информации.

3. Сформулируйте лемму 2.1.

4. Приведите пример представления антагонистической игры в виде дерева.

5. Назовите возможные методы поиска решений на дереве игры.

6. Дайте определения допустимого и оптимального алгоритмов поиска.

7. Поясните максиминный метод поиска решения.

8. Поясните неглубокое -отсечение.

9. Сформулируйте лемму 2.2.

10. Дайте доказательство леммы 2.2.

11. Поясните глубокое -отсечение.

12. Сформулируйте лемму 2.3.

13. Дайте доказательство леммы 2.3.

14. Приведите сравнительные оценки методов максимина и отсечений.

15. Перечислите основные недостатки методов максимина и  отсечений.

3. Методы решения антагонистических игр, представленных в матричной форме

   1. Матричное представление антагонистической игры

Пусть заданы множества стратегий {A_i}, i = 1,… m, и {B_j}, j = 1,…,n, игроковAиBсоответственно, а также матрица выигрышейA = ||a_ij||, i = 1, …,m, j = 1, …,n, где элементa_ij– выигрыш игрокаAв ситуации, когда он выбирает стратегиюA_i, а игрокB– стратегиюB_j. Такая играG(mn) может быть представлена вматричной форме(и называетсяматричной игрой) в виде таблицы (табл. 3.1).

Таблица 3.2

Bj Ai	B1		Bj		Bn
A1	a11		a1j		a1n
Ai	ai1		aij		ain
Am	am1		amj		amn

В качестве иллюстрации снова рассмотрим игру из примера 1 п. 2.1 для случая неполной информации, т.е. когда игроку B не сообщается о выборе игрокаA. У игроковA иBимеется по две стратегии:A₁ и A₂– выбрать 1 или 2 соответственно,B₁ и B₂ – выбрать 2 или 3 соответственно. Данная играG(22) в матричной форме представлена табл. 3.2.

Таблица 3.3

Bj Ai
A1	4	–5
A2	–5	6

Для случая, когда игроку B известно о выборе игрокаA(т.е. игра с полной информацией), получаем игруG(24), матричная форма которой представлена табл. 3.3.

Таблица 3.4

Bj Ai
A1	4	–5	4	–5
A2	–5	6	6	–5

У игрока Bдобавились еще две стратегии:B₃ – отвечать стратегией с тем же номером, что выбрал игрокA(т.е.B₁ наA₁иB₂ на A₂) иB₄– отвечать стратегией с номером, отличным от выбора игрокаA(т.е.B₂ наA₁и B₁ на A₂).

2. Наличие седловой точки

Определение 3.1.

Нижней оценкой цены игрыназывается величина;верхней оценкой цены игрыназывается величина .

Лемма 3.1.Справедливо соотношение ≤ .

Для доказательства леммы представим игру G(mn) в матричной форме в виде табл. 3.4.

Таблица 3.5

Bj Ai	B1	…	Bj	…	Bk	…	Bn
A1	a11	…	a1j	…	a1k	…	a1n
…	…	…	…	…	…	…	…
Ai	ai1	…	aij	…	aik	…	ain
…	…	…	…	…	…	…	…
Al	a11	…	alj	…	alk	…	ain
…	…	…		…		…	…
Am	am1	…	amj	…	amk	…	amn

Пусть  = a_jk, = a_lj . Из определения верхней и нижней границ следует, что элементa_jk является минимальным вi-й строке, т.е. = a_jk ≤ a_jj, а элементa_ljявляется максимальным вj-м столбце, т.е.a_jj ≤ a_lj = . Лемма доказана.

Определение 3.2. Если =  = V, то игра имеетседловую точку, стратегииA_i, B_j, при которых достигается выигрышV, называютсяоптимальными чистыми стратегиями, а пара стратегий (A_i,B_j) называетсярешением игрыG(mn).

Решение игры обладает свойством устойчивости (равновесия), т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому игроку не выгодно отходить от своей, так как его положение при этом может только ухудшиться. Из леммы 3.1 непосредственно следует, что признаком наличия седловой точки является нахождение в матрице игры такого элемента a_ij, который является одновременно минимальным вi-й строке и максимальным вj-м столбце. Если такой элемент не единственный, то игра имеет не единственное решение, но все решения равнозначны, т.е. дают выигрыш, равный цене игрыV.

Теорема 3.1 [6]. Антагонистическая игра с полной информацией имеет седловую точку.

Таким образом, для любой антагонистической игры с полной информацией существует решение – пара чистых стратегий , дающих игрокуАустойчивый выигрышa_ij=V. Наличие нескольких седловых точек означает существование нескольких решений, но все они дают один и тот же выигрыш, равный цене игрыV.

Рассмотрим в качестве примера матричную игру G(24) с полной информацией, представленную табл. 3.3. Дополним данную таблицу новыми строкой и столбцом, получив табл. 3.5.

Таблица 3.6

Bj Ai
A1	4	–5	4	–5	–5
A2	–5	6	6	–5	–5
	4	6	6	–5

Из таблицы видно, что , .

Имеем две седловые точки a₁₄ и a₂₄ , соответствующие решениям (A₁, B₄) и (A₂,B₄) с ценой игрыV = –5.

Вернемся теперь к матричной игре G(22) с неполной информацией, представленной в табл. 3.2. Аналогично предыдущему примеру дополним табл. 3.2 до табл. 3.6.

Таблица 3.7

Bj Ai
A1	4	–5	–5
A2	–5	6	–5
	4	6

Для данной таблицы , , т.е. . Седловая точка, а, следовательно, и решение в чистых стратегиях, отсутствуют.