1. Контрольные вопросы к разделу 4

1. Определите игру двух лиц с произвольной суммой.

2. Дайте определение ситуации равновесия в биматричной игре.

3. Сформулируйте теорему 4.1.

4. Приведите примеры биматричных игр, к которым плохо применима теория Нэша.

5. Почему игра типа «семейный спор» объявляется неразрешимой по Нэшу?

6. Определите рефлексивную игру.

7. Кто выигрывает в рефлексивной игре?

8. Рассмотрите практический пример на использование биматричной игры.

9. Рассмотрите в приведенном примере биматричной игры случаи a= 10,b= 6,c= 5 иa= 10,b= 10,c= 5.

5. Основы теории статистических решений. Игры с «природой»

   1. Определение игры «с природой»

Под игрой с «природой»понимается модель конфликтной ситуации, где в качестве одной из конфликтующих сторон выступает некая объективная реальность, называемая «природой», действия («поведение») которой может влиять на выбор другого игрока, принимающего решения и называемого ЛПР – лицом, принимающим решения.

Рассмотрим игру с природой G(mn), представленную в матричной форме (табл. 5.1).

Таблица 5.26

Пj Ai	П1	…	Пj	…	Пn
A1	а11	…	а1j	…	а1n
…	…	…	…	…	…
Ai	аi1	…	аij	…	аin
…	…	…	…	…	…
Am	аm1	…	аmj	…	аmn

В табл. 5.1 а_ij,i = 1,…,m, j = 1,…,n, – выигрыш игрокаА(ЛПР) при выборе им стратегииА_iв состоянии «природы» (условиях) П_j.

В играх с «природой» кроме выигрыша вводится также понятие риска, определяемое следующим образом.

Определение 5.1. Риском r_ij называется разность между выигрышем, который ЛПР получил бы, зная, в каких условиях П_jон принимает решение, и выигрышем, который он получит, не зная этих условий и выбирая стратегиюA_i, т.е..

Используя опр. 5.1, по матрице игры (выигрышей) G(mn) может быть построена матрица рисковR(mn), которая, как это будет показано ниже, также может быть применена для поиска оптимальной стратегии ЛПР. Матрица рисковR(34) для игрыG(34) (табл. 5.2) представлена табл. 5.3.

Подчеркнем, что использовать методы решения антагонистических игр применительно к играм с «природой» нельзя, так как конфликтная ситуация имеет качественно иной характер из-за отсутствия сознательно противодействующего противника.

Таблица 5.27

G(34)

Пj Ai	П1	П2	П3	П4
A1	1	4	5	9
A2	3	8	4	3
A3	4	6	6	2

Таблица 5.28

R(34)

Пj Ai	П1	П2	П3	П4
A1	3	4	1	0
A2	1	0	2	6
A3	0	2	0	7

2. Методы решения игр «с природой»

   1. Случай стохастической неопределенности

В случае стохастической неопределенности предполагаются известными вероятности q_jсостояний «природы» П_j,j= 1, …,n. Для поиска оптимального решения применяется критерий Лапласа, согласно которому оптимальной для ЛПР является та стратегия, которая максимизирует средний выигрышa_i:

Легко показать, что эта же стратегия будет минимизировать средний риск r_i:

В качестве примера рассмотрим игру, матрицы выигрышей и рисков которой представлены табл. 5.2 и табл. 5.3 соответственно.

Пусть заданы вероятности q_j:q₁ = 0,1; q₂ = 0,5; q₃ = q₄ = 0,2.

Тогда:

a₁= 1·0,1+4·0,5+14·0,2 = 4,9;

a₂= 3·0,1+8·0,5+7·0,2 =5,7;

a₃ = 4·0,1+6·0,5+8·0,2 = 5.

Согласно критерию Лапласа оптимальной является стратегия А₂.

Расчет относительно рисков также приведет к стратегии А₂:

r₁ = 3·0,1+4·0,5+1·0,2 = 2,5;

r₂= 1·0,1+0·0,5+8·0,2 =1,7;

r₃= 0·0,1+2·0,5+7·0,2 = 2.4.