1.2. Визуализация и способы визуального представления функциональных зависимостей

В обучении школьной математики имеет огромное значение факт приобретения учащимися навыка «математического видения». Открытие функциональной асимметрии головного мозга привело к необходимости переоценки и корректировки устоявшихся взглядов на соотношение формального и образного в обучение математики в плане усиления последнего.

Правое, невербальное полушарие мозга, обладает своими особыми способами восприятия и оценками явлений или событий; современная школа уделяет его возможностям недостаточное внимание по сравне­нию с тем, как используются и развиваются возможности левого, доми­нантного, речевого полушария. Вербализм и излишний рационализм при усвоении знаний, господствующие в настоящее время, существенно тор­мозят формирование образного мышления учащихся, хотя об образе и его роли в обучении писали многие ученые: Л. С. Выготский [11] ,Н-А. Менчинская [26], Е. Н. Кабанова - Меллер [20], Н. Г. Салмина [30], И. С. Якиманская [38, 39], на "визуальное мышление" указывали Р. Грегори [12, 13], В. П. Зинченко [17, 18], Н. А. Резник [28] и другие .исследователи.

Автором термина «визуализация» является американский психиатр

Р. Арнхейм. По его мнению, визуализацией является процесс мысленного преобразования сенсорных эталонов, выделение их структурных осо­бенностей с целью разрешения проблемной ситуации, оперирование об­разами также, как если бы они были оригиналы.

В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Швецова сказано: «Визуальный - относящийся к непосредственному восприя­тию с невооруженным и вооруженным глазом».

Родственные слова: визировать (сравним-фиксировать),видоизменение (сравним - перемещение), вид, видимый, видеть, а также производные - видеокамера, ви­деоклип, видеотека, визуальная информация. Например, слово «видеть» имеет значения: обладать способностью зрения: воспринимать зрением; наблюдать, испытывать; сознавать, усматривать: воспринимать ин­теллектуально и зрительно.

Понятие сущности очень важно для всякой системы. Ведь сущность - смысл данной вещи, это совокупность глубинных связей, отношений и внутренних законов, определяющих основные черты и тенденции разви­тия материальной системы. Явление же - конкретные события, свойства и процессы, выражающие стороны действительности и представляющие форму проявления и обнаружения некоторой сущности. Сущность и яв­ление неразрывны, как неразрывны объект и образ. Критерий сущности - точная формулировка законов движения и развития объектов. Сущ­ность может быть познана, если в теории и на практике создана ее достоверная модель, свойства которой соответствуют свойствам ори­гинала. Диалектический материализм утверждает, что человек в своей познавательной деятельности способен установить связь логических конструкций как с миром ощущений, так и с лежащим вне его объек­тивным миром,- с этим утверждением связана теория отражения мира. Само отражение - есть внутренняя способность материальной систе­мы воспроизводить в измененном виде структуру и свойства другой системы [37].

Психическое отражение - более высшая форма отражения, чем в неорганической природе. Поэтому принцип отражения имеет ключевое значение, ибо на нем построена рефлекторная теория биологического функционирования систем, которая способна кодировать и многократно перекодировать полученную информацию. То есть, в действительности, никакое продуктивное мышление невозможно, если субъективное, как идеальное образование, не рассматривается, как образ, как отражение (Немов Р.С [27], Теплов Б.М. [32]).Чтобы понять сущность визуализации и при­ менять идеи визуализации при обучении учащихся функциональным за­висимостям, нами были рассмотрены в единой цепи следующие основные понятия: объект, зрение, память, образ, обучение.

Первой сигнальной системой обучаемого является зрение, а вто­рой - слово. Глаз - воспринимающая переферийная часть органа зрения. Первые исследования микрогенеза зрительного образа простых конфигураций были проведены еще Н.Н. Ланге (1893), а первая работа, направленная на анализ этапов восприятия осмысленных изображений, - М-П. Никитиным(1905). В своих исследованиях М.И. Сеченов подчерки­вал, что глаз обращен на какой-то видимый предмет, и на дне глаза - на так называемой сетчатке, образуется изображение предмета, созна­ние в этом случае является не менее верным зеркалом, чем сетчатка с преломляющими средами в отношении внешнего предмета.

Глаз, - отмечает Л.М. Фридман, - представляет собой семейство органов, предназначенных для восприятия пространства, времени, дви­жения, скорости, ускорения, цвета, света, формы, предметов фактуры по­верхности, то есть практически всех перцептивных категорий, из ко­торых строится образ видимого мира. Созревание анатомо-физиологи­ческого аппарата глаза заканчивается к 15-16 годам, замедляется и останавливается совсем, а развитие зрения, восприятие мира продол­жается всю активную жизнь [33 с.60].

Деятельность ученика начинается с приема осведомительной ин­формации об объекте. Операция приема включает следующие психологи­ческие процессы: ощущение, восприятие, представление. Выработка нер­вных импульсов в сетчатке основана на биохимических реакциях рас­пада и синтеза светочувствительного вещества рецепторных кле­ток. Зрительный анализатор включает три важнейшие составляющие: ре­цептор, центральную часть мозга и нервные пути. В единицу времени он воспринимает 100 единиц информации, тогда как слуховой - всего лишь 10, а тактильный - и того меньше, 1.

Сам механизм зрительной информации таков: сетчатка в тече­нии миллионных долей хранит всю предъявляемую ей информа­цию, сколько бы ее ни было. Затем информация переходит в центр зри­тельной системы. Там, в «блоке» так называемой иконической памяти («картинной»), след хранится уже тысячную долю секунды. А дальше начинается настоящее восприятие: любой сигнал, будь это цифра, бук­ва, или геометрическая фигура, выделяется из фона, в сознании вырисовывается его контур, содержащий основные информативные признаки. Сигнал сравнивается с эталоном, получает оценку, теряет второсте­пенные детали, осмысливается и приобретает форму, пригодную для использования [1,14].

После рецепторного возбуждения сигнал поступает в мозг. Спо­собности клеток мозговой коры к запечатлению огромны (в ДНК дан проект, рисунок, образ клетки, а в РНК - генетический код считыва­ния). При этом сам человек,в голове которого происходят процессы запечатления, нередко не знает о том, что в клетках его коры нари­сован тот или иной предмет внешнего мира. Кроме того, в затылочной и височной частях коры головного мозга находятся поля, непосред­ственно связанные с экраном сетчатки глаза.

Особое значение для учащегося играют долговременная и крат­ковременная памяти. Долговременная - обеспечивает хранение инфор­мации в течение длительного времени, в ней происходит дальнейшая селекция и реорганизация информации из кратковременной памяти, ко­торая делится на оперативную и непосредственную (иконическую). Из иконической вся информация переходит в оперативную память, в этом случае и происходит ее селекция по критериям, определяемым решае­мой учеником задачи. Оперативная память позволяет сохранять и вос­производить текущую информацию от нескольких секунд до нес­кольких минут, объем которой определяется количеством воспринимае­мых сигналов, и зависит от их информационного содержания. Однако, в процессе восприятия математической информации учащимся важны не столько физические особенности, воздействующие на рецепторы, ско­лько информация о свойствах и связях предметов объективного мира. По этому поводу И. Хофман отмечает, что семантическая репрезента­ция - это преобразование явлений и связей объективного мира в па­мяти человека. Доказан факт о реальности оперирования образными репрезентациями: при воспроизведении информации из образной памяти можно иногда наблюдать движение глаз, аналогичное движениям при фактическом рассматривании рисунков, иначе говоря, мысленные операции могут выполняться над изменениями в образных представлениях вне внешнего пространства. Есть подтверждения и о наличии специфи­ческой детекции движения в самой центральной нервной системе [36].

Значит, можно предположить, что путем интеграции семанти­ческих репрезентаций в памяти могут создаваться визуальные обра­зы функциональных зависимостей, которыми можно оперировать, приводя их в «движение». Тогда восприятие учебного материала, связанного с функциональными зависимостями, будет состоять как бы из трех ста­дий: обнаружение - ученик выделяет образ из фона; различение - уче­ник выделяет детали образа; идентификация - ученик отождествляет образ с эталоном, хранящимся в памяти или с внешним объектом. При этом, школьник поймет задачи на функциональную зависимость, если он в состоянии соотнести образ, например, графике с собственной кате­гориальной системой наиболее общих понятий, таких как движение, ко­личество, качество, развитие, причина и следствие, пространство, вре­мя и т.п.. Восприятие - это, прежде все­го, переживание предмета; отказавшись от переживаний, отказываются от жизненных смыслов, от использования образов.

Образ - идеален, субъективен, ограничен, конечен, а объект - ма­териален, объективен, бесконечен, неисчерпаем по своей сущности. Уче­ник на уроках алгебры непосредственно сознает не столько объек­ты, сколько образы функциональных зависимостей, формирующиеся в его мозге при осуществлении им тех или иных познавательных операций. Образ без действия субъекта не может быть ни сформирован, ни вос­становлен, ни использован. Значит, управлять образами на уроке мате­матики можно только через посредство действий.

Ряд аргументов убеждает нас в том, что образ функциональной зависимости - осознанный, необходимый и динамичный элемент обуче­ния. И когда мы устраняем образ при решении задач, как правило, из­ гоняем и содержание обучения, так как одновременно устраняются ориентиры, по которым учащийся может строить свои действия. Но, да­же признав необходимость широкого использования образов в алгебре, не так-то просто осуществить их практическое внедрение. Дело в том, что трудно бывает найти такой визуальный способ, который позволил бы сделать образ по-настоящему действенным инструментом обучения. Значительно чаще образ используется как «пассивное наг­лядное пособие», которое не включается в активную психическую структуру, заставляющую это понятие работать в алгебре,

В исследованиях И. С. Якиманской [38] отмечается, что создание образов, оперирование ими в уме является фундаментальной особен­ностью интеллекта человека. Соответственно, она выделяет следующие '^ показатели при усвоении образа в алгебре: широта оперирования, обобщенность, полнота, динамичность.

Сегодня известно, что современная математика имеет специфи­ческие способы образной записи своего содержания. Учебная математическая информация, представляющая собой систему знаков - слов, формул, таблиц, схем, графиков, иллюстраций, направлена на усвоение содержания учебно-математической теории и ее практических при­ложений, тем более, когда исследуются математические объекты - функ­ции, уравнения, неравенства и их системы.

А.К.Тихомиров в работе «Информационные и психологические теории мышления» обращает внимание на то, что информация - это сис­тема знаков или символов; переработка информации - это различного рода преобразования этих знаков по определенным правилам [18]. То есть, для того, чтобы ученик начал визуализировать информа­цию, необходима сама информация и знание законов ее трансформации в удобный вид, который мы назовем способами задания информации. Вы­ делим основные визуальные способы задания и представления алгеб­раической информации о функциональных зависимостях. Анализ методической литературы показал, что в настоящее время в преподавании алгебры при изучении функциональных зависимостей применяются визуальные способы - текстуальный, аналитический, таб­личный, реже графический. В последнее время появились попытки ис­пользовать алгоритмический и машинный способы, однако, делается это пока не систематически и не в полной мере. Но на сегодняшний мо­мент именно машинный способ включает в себя все основные и из­вестные ученику визуальные способы представления функциональных зависимостей (схема 1)

Схема 1

ВИЗУАЛЬНЫЕ СПОСОБЫ представления функциональных зависимостей

Текстуальный (слово) Табличный (число) Аналитический (формула) Графический (линия) Алгоритмический (схема) Машинный (программа)

Наблюдения показывают, что учащиеся, визуально изучая математи­ческий объект, пытаются интерпретировать его образ удобным для се­бя способом, и делают это через действие, направленное на тот или иной способ задания функциональных зависимостей. Для это­го они должны хорошо знать возможности каждого из них. Но полная характеристика способов задания функции отсутствует, не выделены приемы работы с ними, с помощью которых можно было бы развить те или иные способности обучаемых. Поэтому ниже рассматриваются ос­новные визуальные способы представления функциональных зависимос­тей, применяемые в алгебре средней школы, и их характеристики в сравнении с графическим способом.

Текстуальный (невербальный способ) - это описательный способ предъявления учебно-математической информа­ции, при котором описание функциональных зависимостей представ­ляется ученику на его родном языке, когда тот читает задачу или ее решение, записанное в словесной форме (в виде текста).

Кодирование слова включает два аспекта: распознавание лекси­ческой единицы и идентификация обозначаемых ею фрагментов внешне­го мира. Предъявляемая информация в виде символов перекодируется сначала в фонематическую форму, после чего происходит распознава­ние значения [36 с. 168].

Как видно, задача представления информации текстом довольно сложна, ведь текст должен быть рассчитан на уровень восприятия уче­ника, его предшествующую подготовку, имеющийся запас терминов.

Достоинства способа: четкая и строгая последовательность слов, выражений; удобный, быстрый и доступный для обучения, как изначальный способ; естественная связь с речью (звуком); совместно с вербальным способом, придает эмоциональную окраску свойствам функциональных зависимостей, порождая их разнообразные визуальные образы.

Недостатки: требуется значительно больше времени для обдумы­вания; громоздкость описания. В синтезе с графическим недостатки данного способа снимают­ся: время на перекодирование резко уменьшается: отпадает необходи­мость функциональную зависимость и ее свойства описывать в виде текста, так как все числовые результаты, операции и отношения будут изображены на графике.

Табличный способ задания функциональных зависимос­тей достаточно распространен в математике. При этом численные результаты последовательных наблюдений какого-либо процесса или яв­ления выписываются в виде таблицы в определенном порядке: ряд значений независимой переменной х1, х2,..., xn и соответствующие значения функции у1, у2,......,yn. Таблицами можно задавать различные функциональные зависимости, а значит, учащийся может наблюдать их изменение визуально, выводя путем мыслительной деятельности некую закономерность. Таблица - это настольная (наглядная) книга, удобная для вычислений (калькулятор). Над их созданием работали многие известные математики - педагоги: Б. И. Сегал, К. А. Семендяев (1862), Л. С. Хренов (1967), И. Н. Бронштейн, А. К. Митропольский (1968), Г. Beга, В. М. Брадис (1970) и др.. С помощью таблиц можно «расписать формулу» и составить расчетную таблицу любой функции. Запись должна делаться аккуратно и четко. Ученик должен понимать, что нечеткая запись цифр часто приводит к грубым ошибкам. Существует специальная теория и принципы составления таб­лиц: таблица с одним входом и более; таблица с постоянным шагом; рабочая таблица, которая позволяет, к примеру, обобщить свойства элементарных функций: справочная таблица квадра­тов и кубов натуральных чисел; диагональные таблицы и другие бо­лее сложные таблицы.

При визуальном составлении и изучении математических таблиц ученику необходимо руководствоваться следующими правилами, учиты­вая: табулируемость величины; постоянный (реже - переменный) шаг; количество десятичных знаков после запятой; способ вычисления (прямой или получаемый непосредственно из других таблиц); требования, предъявляемые к проверке таблицы т.д.. Важно также подчеркнуть тот факт, что само число и числовой ряд в табулированной форме послу­ жили в свое время разработкам номограмм и графиков.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в следующем: ученик быстро определяет конкретные значения без допол­нительных измерений и вычислений; обучаемый визуально ведет поиск функциональной зависимости, создавая в памяти образ алгебраическо­го объекта; ученик подходит к проблеме нахождения аналитической записи функции индуктивным путем, что способствует развитию его логического мышления; данный способ учит понятиям конечного и бес­ конечного, четного и нечетного, линейного и нелинейного; обладает простотой, малой стоимостью изготовления, удобством хранения.

Недостатки: функция определяется не полностью, а лишь для не­ которых значений аргумента; объемность таблицы не дает наглядного изображения функции и представляет определенные трудности при ис­следовании свойств функции.

Но работая одновременно по графику и таблице, ученик быстрее исследует свойства функции-область определения, непрерывность, най­дет нули функции, наглядно представит «расположение» числового ря­да на осях координат, укажет направление изменения аргумента и функции.

Под аналитическим (формульным, символьным) зада­нием учебной математической информации понимается запись содержа­ния математических высказываний с помощью знаков и букв. Следует разделять средства данного способа предъявления информации на символически - нагляд­ный и символически - формульный. К символически - формульному относятся средства оформления математического текста, который мало ассоциируется с наглядными представлениями учащихся и отно­сится к искусственно созданным обозначениям. Их написание нуждает­ся в специальном запоминании, а применение - в соответствующей тренировке. К символически - наглядным относятся символы, которые своим начертанием (формой) дают воз­можность визуального восприятия их смысла, которые имеют чувствен­но-наглядную форму и видимую связь между формулой и смыслом: нап­ример, символ(f↑) дает представление о движении вверх (слева нап­раво) - возрастание функции. Разделяя все математические символы на упомянутые основные группы, можно изыскать возможность для лучше­го запоминания и усвоения их применения [28 с. 30-32].

Формализация математического языка с помощью символики - ва­жная сторона обучения математике. Аналитическое изображение функции очень удобно тем, что для элементарных символов, из которых она состоит, разработаны специальные обозначения, установлены прос­тые и часто очень наглядные, легко обозримые формульные прави­ла, позволяющие осуществить математические операции над ними чуть ли не автоматически. Умение ученика читать формулу, составленную из знаковых конструкций, является одним из общеобразовательных умений, применяемых в школе. И так как формульный способ содержит некоторый запас наглядности, то с определенной мерой условности можно говорить о слиянии имени и образа некоего явления.

Формула (с лат. forme - образ, вид) - это всякая символи­ческая запись в виде выражения, равенства или неравенства, содержа­щая какую-либо информацию. Выделение понятия аналитического пред­ставления функции, как самостоятельного объекта исследования, прои­зошло после того, как были разработаны способы ее представления в виде аналитической записи, содержащей вообще бесконечное число достаточно простых, элементарных символов. Ученик должен знать, что при аналитическом способе функция может быть задана одной или несколькими формулами, явно или неявно, параллетрически и т. д. Одна­ко, приходится сталкиваться и с другими проблемами: расширение класса функциональных зависимостей; достаточность элементарных функций; трудность при нахождении способа аналитического разложения слож­ной функции на элементарные; представление функции в виде, позво­ляющем установить использование свойств функции [25 с.75].

Преимущества: компактность записи функции; возможность вычис­ления функции при произвольном значении аргумента; применение к функции аппарата математического анализа; прямая связь с таблич­ным и графическим способами.

Недостатки: отсутствие наглядности; необходимость применения очень громоздких вычислений; область существования функции может не совпадать с той областью, где формула имеет смысл, то есть быва­ют случаи, когда формула не может отразить всей «физической» специ­фики функциональной зависимости (у=к/х и v=s/t. где t⩾0). Поэтому на практике необходимо научить учащихся мысленному визуальному ана­лизу и представлению математических формул, хотя надо пони­ мать, что еще никто не наблюдал, например, закона падения тел в фор­мульном виде.

Оперируя одновременно аналитической записью и графиком функ­ции ученик сможет наглядно контролировать свое решение: график де­лает решение настолько наглядным, что функция - «оживает»; не тре­буется большого количества ненужных вычислений и слов; с помощью графика можно получить образы сложных функций, а если методы реше­ния каких-либо функциональных зависимостей ученику неизвестны, то график позволит школьнику провести мысленный визуальный анализ исследования основных свойств элементарных функций.

Алгоритм - это конечный набор правил, позволяющих чис­то механически решать любую задачу из некоторого класса однотип­ных задач. Осуществление алгоритмического процесса может быть пе редано машине, которая благодаря своему быстродействию способна решать задачи, недоступные учащемуся традиционными методами. Известно, что алгоритм обладает своими специфическими свойства­ ми. Для того, чтобы выполнить математический анализ алгоритма, ученику необходимо в его жесткой структуре суметь увидеть математи­ческую основу, то есть визуально представить поэтапность решения задания, просмотреть умозрительно все операции от начала до конца. При этом информация может представляться учащимся в виде: свобод­ных схем (схемы, не имеющие жесткого правила оформления); графичес­ких схем (блок-схемы); записи на псевдокоде (алгоритмический язык русской нотации); программы на языке программирования высокого уровня. Так, например, посредством «машинных» алгоритмов могут быть более понятно описаны общие чер­ты многих функций, уравнений, неравенств и их системе. Наибольший эффект дает не столько сама схема, сколько ее связи, проследить за которыми можно только лишь визуально и в целом (опи­сывать же такую схему словесно, зачастую бессмысленно или просто невозможно).Потребность обращения к схеме у учащихся должна быть воспитана на первых занятиях математикой и дисциплин, смежных с ней. Школьники должны понимать все достоинства и недостатки запи­си алгоритмов в виде схем при решении задач на функциональные за­висимости.

К достоинствам схемы следует отнести следующие моменты: схе­ма наглядно демонстрирует ученику все связи между элементами ал­горитма; хорошо различаются сами элементы математической структу­ры; язык схем настолько четок, что «исполнитель» ни в каких допол­нительных разъяснениях больше не нуждается; конструирование алго­ритма позволит развить алгоритмическое мышление школьнику; анализ и синтез, а также структурированность алгоритмического языка поз­волит ученику научиться читать алгоритмы «сверху-вниз», охватывая его целиком.

Недостатки: запись алгоритма очень жесткая, состоящая из функ­циональных блоков, и не терпит ошибок; невозможно читать алгоритм как обычный текст; отсутствует наглядность при записи сложных ал­горитмов, содержащих вложенные структуры. Графический способ в совокупности с алгоритмическим, в котором присутствуют и текст, и число, и выражение, и формула, и геомет­рические элементы, позволяет каждый шаг алгоритма увидеть наглядно, просмотрев его пошагово или в целом.

График - наиболее «жесткое» средство геометрического способа предъявления учебно-математической информации, который сам по себе визуален, благодаря чему роль графика велика при реше­нии многих математических задач. Графиком функции y=f(x) называет­ся множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетво­ряют данному уравнению. Только благодаря введению переменной вели­ чины в аналитической геометрии Р. Декартом, стало возможным изуче­ние «движения», а значит, и свойств функции, посредством графика. При этом был получен новый визуальный способ, который дал хороший эффект в научном исследовании, особенно в сочетании с другими ви­зуальными способами. Суть его: чем лучше мы узнаем качественные особенности процессов и явлений, тем легче мы можем описать и их количественные характеристики, взаимосвязи (и наоборот).

Функция считается заданной графически, если начерчен ее график. Именно графический способ указывает на важные черты поведения функции, и находится в более тесной логической и генетической свя­зи с понятием функции. Причем, если функция задана аналитически, то установление свойств этой функции называется исследованием функ­ции. Перечисление свойств функции, заданной графически, называется чтением графика. Следует согласиться с мнением С. В. Дворянинова, что функции, заданные формулой - исследуются; функции, заданные гра­фически - описываются, перечисляя их свойства, а график функции, при этом читается.

График - не статичный образ ,а отображение движения математической точки, подразумевающей под собой какой-либо физический объект, процесс или явление, и это движение учителю необходимо пос­тоянно подчеркивать, показывая тем самым ученикам возрастание и убывание переменной величины. Необходимо знакомить учащихся как можно раньше с разнообразными типами функциональных зависимостей и их приложениями в графическом виде. Кроме того, практика показала, что постоянное построение графика по точкам отрицательно сказывается на эмоциональной стороне учебной деятельности - у учащихся наблюдается резкое снижение познавательной активности. Поэтому для целенаправленного развития графической культуры необходимы более эффективные средства. В научной литературе в этой связи отмечается, что:

- само движение точки, вырисовывающее график некоторой функции или графический образ, характерно тем, что время в этот момент «опредмечивается» через аппарат отражения - нервную систему, т. к. «живое» может экстраполировать направление движения в поле зрения и за преградой;

- движения в графике определяют также внутреннюю связь мозга и ведущей руки, которая необходима в качестве единого графического решения в системе обучения [21];

- наличие особенностей цветового зрения в графике: цвет движущейся точки порождает не только материальные формы, но и ассоциации; цвет объединяет явления: - участок контура, с большим искривлением (как график или буква), более информативен [ 14 с. 100] и т. д..

Анализ методических исследований по данному поводу позволяет го­ворить о том, что:

- график способствует пониманию учеником реальных процессов, описываемых функцией;

- график может выступать в роли исследовательского инструмента;

- график позволяет проследить поведение функции на всей области определения или на определенном промежутке;

- график может выступать в роли своеобразного алгоритма, реализа­ция которого требует от учащегося воспроизведения конкретных предметных действий;

- график может являться источником проблемных ситуаций, которые

выражаются учащимися в словесно - абстрактную форму;

- на основе графика можно воссоздать знаковые модели; здесь он способен предстать в виде связующего звена между чувственной и рациональной ступенями познания, обеспечивая последовательные переходы между практической и теоретической деятельностью.

Именно образ графика функции, как более цельный и «живой ор­ганизм» по сравнению с образами, представленными другими визуальными способами алгебраической информации, более устойчив (ин­формативен) в памяти ученика, а потому может свободно функциониро­вать, перемещаться между сетчатками мозга и глаза.

Данное предположение подтверждают и более серьезные исследо­вания В.В. Суворовой, М.А. Матвеевой, 3.Г. Туровской («Асимметрия зрительного восприятия»), что образ возникает в процессе отражения как «визуализация», а качественное своеобразие и неадекватная локализация его убеждают, что можно рассматривать анатомо-физиологические предпосылки вынесения зрительных импульсов, поступающих в мозг, назад, к рецепторам глаза.

Кроме того, график функции дает возможность сделать предпо­ложение о числе корней некоторого уравнения или системы уравне­ний. Графическое решение используется учащимся обычно тогда, когда трудно найти другие методы решения уравнений. В связи с этим уча­щиеся должны уверенно и свободно решать с помощью графика целый ряд задач: по значению одной переменной определять значение другой; находить промежутки возрастания и убывания функции; опреде­лять тип графика функции; выделять свойства функции; оперировать с графиками, преобразовывая их. К тому же, построение графиков функций уже в ходе изучения теоретического материала позволяет увеличить объем запоминаемой информации на 30 - 40%.

И.С. Якиманская справедливо полагает, что организуя работу по актуализации образов, их надо постоянно «оживлять». Если геометрия еще может опереться на наглядные образы отдельных математических фигур, то алгебра такой возможности почти не имеет, особенности образного мышления при усвоении алгебры, их психологическая приро­да специально не изучались. Трудность же состоит в том, что школьники, изучающие алгебру, постоянно находятся в ситуации, требующей своевременного перекодирования информации. Поэтому образное мышле­ние выступает и как деятельность по перекодированию образов. Это имеет место при усвоении основных понятий: при решении уравне­ний, неравенств и их систем, а также при выполнении заданий, типа: оп­ределить вид зависимости, критические точки, интервалы функции, на­ хождение корней уравнений, чтение графиков и т. п., что требует от школьников умения одновременно работать в двух знаковых систе­мах, свободно переходить от условно - символических к графическим изображениям и обратно, от одной формы к другой [40 с. 95 - 112].

Подводя итог словами В. Л.Гончарова, можно сказать, что в средней школе функ­ция неотделима от ее графического представления, функция связана с графиком так же тесно, как тесно связывается смысл слова с его на­чертанием и произношением, или звук с его записью и наименованием. Но кривая линия - геометрический эквивалент функции - гораздо больше говорит воображение, чем формула или таблица числовых зна­чений. Существование соответствия между формулами и графиками спо­собно чрезвычайно поразить воображение учащихся, сама формула при этом становится чем-то живым, начинает говорить уму и сердцу [19 с.121]. Тогда под визуальным мышлением мы будем понимать человечес­кую деятельность, продуктом которой является порождение новых об­разов, создание новых визуальных форм, несущих определенную смысло­вую нагрузку и делающих знание видимым. Цель учителя: сформировать такие образы, чтобы ученик смотрел и видел то, что в них заложено. Но культура зрительного восприятия требует такого же длительного и серьезного воспитания, как культура письма и речи.

Непонимание этого факта может привести, как считает В. Л. Гуськов, к распространенным ошибкам учеников, типа: у=х², у=соs х - это форму­лы, а не уравнения: у=[х] - это не график; график вообще не фигу­ра; при пересечении графика синуса с осью абсцисс получаются только точки, а не фигура и т. п..

Мысль о продуктивном характере «визуального мышления» получила широкое признание, накоплен богатый материал. Нельзя видеть не понимая. Визуальное мышление, особые параметры которого задаются свойствами учебного математического материала, должно функциониро­вать всегда, когда есть возможность изложить содержание изучаемо­го процесса (явления) в визуально представимой форме, так как гра­фический образ функциональных зависимостей, который можно «увидеть», поддается изучению гораздо легче, чем символьный.

В познавательном же процессе визуальное мышление имеет са­мое непосредственное отношение к наглядности. Наглядность содей­ствует формированию образов восприятия и представления, соответ­ствующих семантике теоретического материала. Ее цель - зафиксиро­вать внимание. Основным средством при обучении математике являет­ся наглядность: натуральная, изображающая, символическая [22 с.80]. Главные признаки наглядности в обучении математике сформулирова­ны В.Г. Болтянским [ 6, 8]. Это правильное изоморфное отраже­ние существенных черт явления и простота восприятия. Отмечается, что визуальная наглядность может выполнять особую роль: дополняет неполноту абстракций; заменяет отсутствующую реальность; упорядочи­вает систему информации, поступающую в мозг учащегося; вносит но­вую информацию, отсутствующую в вербальном сообщении педагога; по­рождает проблемную ситуацию; закрепляет знания. Белова З.С. подчеркивает, что визуальная наглядность должна быть: чувственной, открытой, иметь форму и содержание, информативной, расшифровываемой, не чрезмерно строгой, доступной, компактной, эстетичной, имеющей философско-методологическое и теоретике - практическое приложения.

Принцип наглядности, как известно, был выдвинут и развит вели­кими педагогами прошлого: Я. А. Каменским, И. Г. Песталоцци, К. Д. Ушинским и др., но чтобы сформировать визуальное мышление на уроках алгебры необходима целая палитра ,комплекс особых способов, приемов и методов, порой не математического, а методического плана: ис­следователи справедливо отмечают, что:

- математическое содержание, положенное в основу заданий, пере­рабатывается мозгом в синтезе с его образным видением, целостно, прокручивается многократно в поисках интерпретаций, от­вечая эмоциональному состоянию ребенка. Возможность быстрого из­менения формы, размеров и расположения фигур обеспечивает двига­тельную, а вместе с тем и умственную активность, позволяет даже учащемуся с низкими учебными способностями, проводить поиск ка­ких - либо закономерностей;

- для прочного запоминания материала следует вызывать у учащих­ся эмоции искусственным способом и подводить их под каждую но­вую единицу информации, а при необходимости делать сюжетные связки из них, и связать одну единицу информации с другой, мето­дично развивая при этом образность мышления.

Итак, на основании проведенного выше анализа, мы считаем, что визуализацию следует понимать двояко:

1)как наглядность внешнюю, позволяющую проводить наблюдение, фикса­цию и запоминание видимого объекта, который отражается на сетчат­ках глаза обучаемого в виде образа - эталона, передавая все его количественные и качественные характеристики;

2) как наглядность внутреннюю, обеспечивающую интеллектуальную ра­боту индивидуума, процесс мысленного преобразования и оперирования образами, иногда даже без наличия эталона, который может восприни­маться учащимся как «живая наглядность» (модель).

Основные положения, способствующие формированию и развитию функционального и визуального мышления, которые необходимо учиты­вать при визуальном решении задач на функциональные зависимости:

- переход от единичных и предметно-конкретных образов к абстрак­циям, условно-схематическим (и обратно);

- возможность фиксации в образе функции теоретических связей и зависимостей (пространственных, структурных, временных);

- развитие динамики графического образа, что выражается в его под­вижности, многоаспектности, смене точки отсчета;

- овладение разнообразными визуальными способами и приемами создания образов функциональных зависимостей.

Изложенное выше представляет подход, генетически опирающийся на традиционные и современные средства обучения в алгебре, когда при визуальном изучении функциональных зависимостей на основе их графического представления будут эффективно решены многие задачи образования, что, в свою очередь, будет способствовать развитию функционального (закономерного) и визуального (образного) мышления.

Основная идея состоит в том, чтобы положить в основу обуче­ния алгебре богатую визуальность, используя при этом простран­ство, Время, движение, цвет и другие характеристики, «предлагаемые» компьютером.

Подводя итоги, можно сказать, что:

1) визуализация в обучении может трактоваться как пассивный фикси­рующий) образ математического объекта и как активный («живой», интеллектуальный) образ, вскрывающий сущность этого объекта;

2) дидактическая ценность визуализации при изучении функцио­нальных зависимостей состоит в том, что она позволит учащемуся фиксировать, воспроизводить и создавать в памяти ту или иную ал­гебраическую информацию, раскрывая ее глубокий физический и мате­матический смысл;

3) изучение свойств функциональных зависимостей в алгебре необхо­димо начинать с графических образов, дополняя их другими способами визуализации - текстуальным, табличным, аналитическим, алгоритмичес­ким (и машинным), используя приемы, позволяющие развивать динамику этих образов;

4) график функции, исследуемый визуально, способствует формированию и развитию функционального и визуального мышления одновременно, что позволит школьнику эффективнее решать различные уравнения, не­ равенства и их системы.