Метод субъективных коэффициентов уверенности (субъективных вероятностей)

MYCIN

Mд(H,E) =

Доверие (гипотеза, мера)

Mн(H,E) =

Недоверие

K(H,E) = Мд(Н,Е) – Мн(Н,Е)

Мн1, Мд0

-1

P(R)=0.5P(R|Z)=0.75

Мд = = 0.5

Мн= = 0

K(R,Z) = 0.5 – 0 = 0.5

Можно ввести K_{верхпорог}(H,E) = 0.2

K_{нижпорог}(H,E) – не зависит от ситуации

Сложное свидетельство – есть ряд свидетельств, которые используются для гипотезы.

Если Е₁и Е₂независимы, то:

1. Мд(H,E1&E2) =

2. Мн(H,E1&E2) =

Сложная гипотеза – свидетельство в поддержку всех гипотез

Мд(H1&H2,E) =min{ Мд (H1,E), Мд (H2,E)}

Мн(H1&H2,E) =max{ Мн (H1,E), Мн (H2,E)}

Мд(H1&H2,E) =max{ Мд (H1,E), Мд (H2,E)}

Мн(H1&H2,E) =min{ Мн (H1,E), Мн (H2,E)}

Мд(Ht&Hq,Ei&Ej) =min{ Мд (Ht,Ei&Ej), Мд (Hq,Ei&Ej)}

по (1)

Мн(Ht&Hq,Ei&Ej) =max{ Мн (Ht,Ei&Ej), Мн (Hq,Ei&Ej)}

по (2)

Если сами свидетельства правдоподобны, то надо перейти на метод шкалирования.

-а 0 +а

Мд(H,E) = Мд (H,E)max{ К(E,А); 0}

Мн(H,E) = Мн (H,E)max{ К(E,А); 0}

Теория свидетельств Демпстера-Шефера

Схема Байеса основывается на:

1. Р(Н)+Р(⌐Н)=1 – свойство дополнительности

2. Свойство индифферентности

3. Точечная оценка

Аксиоматика ТВ по Колмогорову:

1. 0

2. P(true)=1, P(false)=0

3. P(HvQ) = P(H)+P(Q)-P(H&Q) => P(Hv⌐H)=1

Базовые посылки ТС:

1. Использование субъективных свидетельств

2. Различение ситуаций неопределенности и незнания

3. Использование правила объединения свидетельств

1967г

[Р₊(Н), Р⁺(Н)] – вероятностный интервал доверия

Шефер ввел понятия меры (функции) доверия гипотезы Н (Bel(H)) и меры правдоподобияPl(H)=1 -Bel(⌐H). Вероятностный интервал доверия – [Bel(H),Pl(H)]

–множество всех возможных подмножеств из {H} гипотез.

Задается базовое распределение вероятностей (мера m(Н_i)) на множестве:

Функция (мера) доверия к гипотезе Н:

Мера недоверия (правдоподобия) к гипотезе Н:

Пример

Вы миллионер и думаете, покупать ли фирму.

1. 1) пригласили эксперта А

Р(Ав)=0,9 Р(Ан)=0,1

h – покупать акции

Bel(h)=0,9 Pl(h)=1- Bel(⌐h)=1

Вероятностный интервал доверия – [0.9; 1]

2)пригласили эксперта Б

Р(Бв)=0,8 Р(Бн)=0,2

Эксперт Б говорит h.

Нужно посчитать:

Р(Ав&Бв) = Р(Ав)Р(Бв) = 0,90,8 = 0,72

Р(Ан&Бн) = Р(Ан)Р(Бн) = 0,10,2 = 0,02

Р(Ав vБв) = 1 - Р(Ав&Бв) = 1 – 0,02 = 0,98

Bel(h)=0,98 Pl(h)=1- Bel(⌐h)=1

Вероятностный интервал доверия – [0.98; 1]

2. А → h, Б → ⌐h

Р(Ав&Бн) = Р(Ав)Р(Бн) = 0,90,2 = 0,18

Р(Ан&Бв) = Р(Ан)Р(Бв) = 0,10,8 = 0,08

Р(Ан&Бн) = Р(Ан)Р(Бн) = 0,10,2 = 0,02

Р(Ав vБв) = 1 - Р(Ав&Бв) = 0,18 + 0,08 + 0,02 = 0,28

Вероятностный интервал доверия h– [0.643; 0.714]

Вероятностный интервал доверия ⌐h– [0.286; 0.357]

3. Р(Aв)=0,9Р(Бв)=0,9

1. А → h, Б → h

Вероятностный интервал доверия h– [0.99; 1]

2. А → h, Б → ⌐h

Вероятностный интервал доверия h– [0.47; 0.53]

Вероятностный интервал доверия ⌐h– [0.47; 0.53]

Правило объединения свидетельств

–образует всевозможные подмножества взаимоисключающих гипотез.

m_n(H) – мера доверия к гипотезе Н, аn– число источников свидетеств.

(*)

Пример

4 гипотезы: пациент – h1 – в шоке,h2 – грипп,h3 – мигрень,h4 – минингит

Свидетельство 1: у пациента лихорадка

m₁({h1,h2,h4})=0.6

m₁()=0.4

Свидетельство 2: у пациента рвота

m₂({h1,h2,h3})=0.7

m₂()=0.3

m1	m2	m3
m1({h1,h2,h4})=0.6	m2({h1,h2,h3})=0.7	m3({h1,h2})=0.42
m1()=0.4	m2({h1,h2,h3})=0.7	m3({h1,h2,h3})=0.28
m1({h1,h2,h4})=0.6	m2()=0.3	m3({h1,h2,h4})=0.18
m1()=0.4	m2()=0.3	m3()=0.12

Вывод:

1. Высокая мера доверия свидетельствует о конфликте свидетельств на множестве

2. При наличии большого множества гипотез и сложности свидетельств метод хотя и может привести к большим и сложным вычислениям, но их все же меньше, чем для Байесовской схемы.

3. Подход Демпстера-Шефера, основанный на свидетельствах, во многих приложениях позволяет более адекватно учитывать неопределенность, чем строгий Байесовский подход.