6. Операторный метод анализа переходных процессов

Классический метод анализа переходных процессов имеет существенный недостаток, связанный с громоздкостью определения постоянных интегрирования интегрально – дифференциальных урав­нений, составленных по второму закону Кирхгофа. Поскольку решение интегрально – дифференциального уравнения сводится к ре­шению алгебраического характеристического уравнения, то целесообразно систему исходных уравнений электрической цепи записывать в виде изображения в алгебраической форме. В этом и заключается суть операторного метода анализа переходных про­цессов, позволяющего исключить трудоемкий процесс определения постоянных интегрирования. Путем введения некоторого ком­плексного оператора , позволяющего дифференцирование и интегрирование некоторой функции времени свести к простым алгебраическим операциям над изображением этой же функции. Переход от оригинала функций времени к изображениям производится с помощью преобразователя Лапласа, математическое выражение которого записывается в виде равенства

, (6.1)

где - функция времени – оригинал;

- функция переменной – изображения;

- комплексная переменная.

С окращенно равенство (6.1) записывается в виде взаимного соответствия

,

где математический знак соответствия.

Преобразование Лапласа справедливо для сходящихся интегралов, то есть когда модуль функции увеличивается с ростом медленнее, чем функция . Практически все электротехнические функции удовлетворяют это условие.

6.1 Основные понятия операторного метода и изображение основных электротехнических функций

Как было отмечено выше, между оригиналом и изображением нет равенства, а есть только взаимное соответствие и из курса математики известны основные свойства прямого преобразования Лапласа.

1. Каждому оригиналу соответствует вполне определенное изображение, и наоборот (единственность).

2. И зображение суммы функций равно сумме изображений каждой из функций в отдельности (линейность):

3 . При умножении оригинала на число изображение умножается на то же число (пропорциональность):

Из теорем операторного исчисления для решения задач наиболее часто используется теорема запаздывания: функции – оригиналу, сдвинутой вправо вдоль оси времени на , соответствует ее изображение, умноженное на :

Изображения функций находят, вычисляя интеграл (6.1).

Так, если функция , где - постоянная, то ее изображение будет

(6.2)

При предел функции равен нулю; при

Чтобы получить изображение постоянной, надо разделить ее на (5.2).

Изображение экспоненциальной функции вида .

Если , то

И так (6.3)

П оложив , получим (6.4)

Изображение синусоидальной функции (без вывода)

(6.5)

П ри , (6.6)

Изображение комплекса (без вывода)

(6.7)

Изображение производной и интеграла (без вывода)

, (6.8)

где - значение оригинала при (начальное условие)

(6.9)

Аналогичным образом находят изображение и других функций. Пары оригинал – изображение сводят в таблицы (смотри справочник по высшей математике; раздел: операционное исчисление).