§6 Барометрическая формула

Распределение Больцмана

     До сих пор рассматривалось поведение идеального газа, не подверженного воздействию внешних силовых полей. Из опыта хорошо известно, что при действии внешних сил равномерное распространение частиц в пространстве может нарушиться. Так под действием силы тяжести молекулы стремятся опуститься на дно сосуда. Интенсивное тепловое движение препятствует осаждению, и молекулы распространяются так, что их концентрация постепенно уменьшается по мере увеличения высоты.

     Выведем закон изменения давления с высотой предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h  равно p, то на высоте h + dh оно равно  p + dp   (при dh > 0,  dp < 0, так как p уменьшается с увеличением h).

Р азность давления на высотах h и  h+dh мы можем определить как вес молекул воздуха заключённого в объёме с площадью основания равного 1 и высотой  dh.

плотность на высоте h, и так как  , то      = const.

Тогда     

Из уравнения Менделеева-Клапейрона.

Тогда   

Или 

С изменением высоты от h₁ до h₂ давление изменяется от p₁  до p₂

Пропотенцируем данное выражение   (

Барометрическая формула, показывает, как меняется давление с высотой

При

Тогда

  

Т.к.

,

а

   

то

n  концентрация молекул на высоте h,

n₀  концентрация молекул на высоте h =0.

 

Т.к 

  

то

 

потенциальная энергия молекул в поле тяготения

распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле. Из него следует, что при T = const  плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия молекул.

      Ж. Перрен (французкий ученый) в 1909 г. исследовал поведение броуновских частиц в эмульсии гуммигута (сок деревьев) с размерами осматривались с помощью микроскопа, который имел глубину поля - 1мкм. Перемещая микроскоп в вертикальном направлении можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте.

Применив к ним распределение Больцмана можно записать

n=         - где  m-масса частицы

m - масса вытесненной жидкости:

Если  n₁ и n₂ концентрация частиц на уровнях  h₁ и h₂,  а   k=R/N_A,  то

N_A=

Значение  хорошо согласуется со справочным значением  , что подтверждает  больцмановское  распределение частиц.