7. Минимизация логических функций методом Петрика

Петрик формализовал второй этап минимизации, т.е. нахождение минимальной ДНФ – исключение лишних простых импликант. Данный метод позволяет свести работу с импликантной матрицей к аналитическим выражениям. По импликантной матрице строится так называемое конъюнктивное представление импликантной матрицы.

Алгоритм метода:

1. Все простые импликанты обозначаются буквами.

2. Для каждого i – го столбца матрицы строится дизъюнкция всех букв, обозначающих строки матрицы, пересечение которых с i – м столбцом отмечено .

3. Конъюнкция построенных дизъюнкций для всех столбцов матрицы и есть конъюнктивное представление импликантной матрицы.

4. К данному выражению можно применять все законы булевой алгебры с целью его упрощения. После раскрытия скобок и всех возможных поглощений получаем дизъюнкцию конъюнкций, каждая из которых содержит все импликанты тупиковой ДНФ.

Пример: Имеем после первого этапа минимизации следующую импликантную матрицу (смотри метод Квайна – Мак-Класки):

Таблица 2.11 – Импликантная матрица

	 х1  х2  х3 х4	 х1 х2  х3  х4	 х1 х2  х3 х4	 х1 х2 х3  х4	 х1 х2 х3 х4	х1  х2  х3  х4	х1  х2  х3 х4	х1 х2  х3 х4	х1 х2  х3 х4
 х3 х4 = A									
х1  х3 = B									
 х1 х2 = C					
х2  х3 = D									
F	A	C  D	A  C  D	C	C	B	A  B	B  D	A  B  D

Отсюда конъюнктивное представление импликантной матрицы:

F = A (C  D) (A  C  D) C C B (A  B) (B  D) (A  B  D).

После раскрытия скобок и поглощений получаем минимальную ДНФ:

F = A C B =  х₃ х₄   х₁ х₂  х₁  х₃

Пример: Имеем после первого этапа минимизации следующую импликантную матрицу (смотри метод Квайна – Мак-Класки):

Таблица 2.12 – Импликантная матрица

	х1 х2 х3	х1  х2 х3 	 х1 х2 х3	 х1  х2  х3	х1 х2  х3
Х1 х3 = A		
Х1 х2 = B					
 х2 х3 = C			
 х1 х2 = D				
F	A  B	A  C	C  D	D	B

Отсюда:

F = (A  B) (A  C) (C  D) D B = (A  C) D B = A D B  C D B.

Т.е. имеем две минимальные ДНФ:

F₁ = х₁ х₃   х₁ х₂  х₁ х₂,

F₂ =  х₂ х₃   х₁ х₂  х₁ х₂ .