Операции алгебры множеств
Цель работы
Закрепить знания основных положений и выполенеие операций алгебры множеств.
Темы лабораторной работы № 1
1. Реализовать операцию объединение множеств.
2. Реализовать операцию пересечение множеств.
3. Реализовать операцию разность множеств.
4. Реализовать операцию симметрическая разность множеств.
5. Реализовать операцию дополнение множества до универсума.
6. Реализовать булеан множеств.
7. Реализовать операцию декартово произведение множеств.
Основные орпределения
Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (Cantor) (1845-1918) дал такое определение множества:
множество - это любая совокупность определенных и различимых объектов нашей интуиции, мыслимое как единое целое.
Т.е. всякое множество однозначно и полностью определяется своими элементами.
Элементы множества – объекты, из которых оно состоит. Множества обозначаются большими латинскими буквами (A, B, C,…), элементы – малыми (a, b, c,…).
Через
обозначается
отношение принадлежности элемента a
множеству B: a
B
(“a принадлежит B”). Непринадлежность
a множеству B обозначается а
В
или а
В.
Если множество A состоит из элементов a,b,c,d, то это записывается таким образом: А={a,b,c,d}. Во множестве не может быть повторяющихся элементов.
Е
сли
множество является элементом другого
множества, то говорят о системе множеств
и его обозначают большими прописными
буквами ={a,b,{d,c}}.
Множества могут быть конечными (т.е. состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными.
Количество
элементов,
из которых состоит множество называется
мощностью
множества
и обозначается
.
Так в наших примерах имеем следующие
мощности множеств:
=
4,
= 3.
Мощность
бесконечного множества называется
континуум.
Множество мощности 0 называется пустым
и обозначается
или
.
Если
=
,
то множества А и В называются
равномощными.
Если
всякий элемент множества А является
элементом множества В, то А называется
подмножеством
В и обозначается А
В.
Знак
называется знаком нестрогого включения.
Множества A и B равны, если их элементы совпадают, иначе говоря, если А В и B A.
Если
А
В
и А
В,
то А называется собственным
или истинным
подмножеством
В и обозначается А
В.
Знак
называется знаком строгого включения.
Справедливы две аксиомы теории множеств:
1. Аксиома объемности:
Множества А и В равны, если их элементы совпадают, т.е. А В и В А.
2. Аксиома существования:
Существует по крайней мере одно множество и это множество является пустым { }. Т.е. пустое множество является подмножеством любого множества.
Теоретические сведения
Операция объединение множеств
Объединением множеств А и В (обозначается А В) называется множество, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Символически это можно записать так:
А В={ x x А V х В}
Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.
А В = {a, b, d, e, h}.
Аналогично определяется объединение произвольной (в том числе бесконечной) совокупности множеств.