10. Алгоритм Флёри нахождения эйлерова цикла

Естественно возникает вопрос: как найти хотя бы один эйлеров цикл в эйлеровом графе, пройдя по каждому ребру один раз и вернуться в начало.

2

3

1

4

6

5

Рисунок 3.14 – Граф с эйлеровым циклом

Указание эйлерова цикла равносильно выдаче некоторой нумерации ребер графа, соответствующей порядку их обходав цикле, проходящем через все ребра.

Нахождение эйлерова цикла в графе можно осуществить с помощью алгоритма Флёри:

1. Начиная с произвольной вершины х₀ исходного графа Г₀, присваиваем любому инцидентному ей ребру (х₀, х₁) номер 1. Удаляем ребро (х₀, х₁) из множества ребер графа Г₀ , получая граф Г₁ . Переходим в следующую вершину х₁.

2. Пусть х_k — вершина, в которую мы пришли после очередного шага нумерации ребра, получившего номер k. Для дальнейшей нумерации выбираем любое ребро графа Г_k, инцидентное вершине х_k, с учетом следующего правила: ребра, удаление которых из графа Г_k повлечет нарушение его связности, выбираются только тогда, когда другой выбор осуществить нельзя.

3. Алгоритм заканчивает свою работу, когда получен цикл, т.е. выбрано ребро (х, х₀), где х - некоторая вершина графа Г₀.

Иначе – повторяем пункт 2.

4. Если получился цикл, но не ейлеров, то отбрасываем данную последнюю вершину и повторяем пункт 2.

Примечание:

Принцип действия алгоритма заключается в следующем. Начиная с произвольной вершины, строим путь, удаляя ребра и запоминая вершины в стеке, до тех пор пока множество смежности очередной вершины не окажется пустым, что означает, что путь удлинить нельзя. При этом мы обязательно придем в ту вершину, с которой начали. В противном случае это означало бы, что вершина х имеет нечетную степень, что невозможно по условию. Т.о., из графа были удалены все ребра цикла, а вершины цикла были сохранены в стеке S. При этом степени всех вершин остались четными. Далее вершина х выводится в качестве первой вершины эйлерова цикла, а процесс продолжается, начиная с вершины, стоящей на вершине стека.

2

1 5 3

1

2 4 6

9 3 4

7

6 8

5

Рисунок 3.15 – Граф после применения алгоритма Флёри

11. Пример решения задачи о коммивояжёре

Имеем граф с шестью вершинами и следующей матрицей смежности (таблица 3.8). Найти методом ветвей и границ гамильтонов цикл наименьшей длины.

Таблица 3.8 - Матрица смежности

i/j	1	2	3	4	5	6
1		68	73	24	70	9
2	58		16	44	11	92
3	63	9		86	13	18
4	17	34	76		52	70
5	60	18	3	45		58
6	16	82	11	60	48

Приведем данную матрицу по строкам и столбцам.

Таблица 3.9 - Приведённая матрица смежности с константами приведения по строкам и столбцам

i/j	1	2	3	4	5	6
1		59	64	15	61	0	9
2	47		5	33	0	18	11
3	54	0		77	4	9	9
4	0	17	59		35	53	17
5	57	15	0	42		55	3
6	5	71	0	49	37		11
	0	0	0	15	0	0

Сумма констант приведения даёт некоторую нижнюю границу длин всех гамильтоновых путей: . Улучшили оценку за счёт приведения матрицы по столбцам. Нижняя оценка длин всех гамильтоновых путей: .

Теперь нужно просмотреть все нулевые элементы матрицы и выбрать тот, для которого сумма констант приведения матрицы, получаемых заменой на была бы максимальной.

Подсчитаем эти суммы:

Максимальная сумма соответствует дуге .

Множество разбиваем на два подмножества, одно из которых включает дугу - подмножество В, а другое – не включает – подмножество А. В матрице элемент заменяем на бесконечность, из элементов четвёртой строки вычитаем 17, а из элементов первого столбца вычитаем 5.

Таблица 3.10 - Матрица смежности подмножества

i/j	1	2	3	4	5	6
1		59	64	0	61	0
2	42		5	18	0	81
3	49	0		62	4	9
4		0	42		18	36
5	52	15	0	27		55
6	0	71	0	34	37

Находим оценку снизу подмножества : .

Включение дуги автоматически исключает из пути дуги .Также нужно исключить дугу , которая образует негамильтонов цикл с дугой .

Таблица 3.11 - Матрица смежности подмножества

i/j	2	3	4	5	6
1	59	64		61	0
2		5	18	0	81
3	0		62	4	9
5	15	0	27		55
6	71	0	34	37

Эту матрицу можно привести по четвёртому столбцу, тем самым улучшить оценку на 18. Находим оценку снизу подмножества : .

Сравниваем две оценки: . Для дальнейшего разбиения выбираем подмножество . .

Таблица 3.12 - Приведённая матрица смежности подмножества

i/j	2	3	4	5	6
1	59	64		61	0
2		5	0	0	81
3	0		44	4	9
5	15	0	9		55
6	71	0	16	37

Находим дугу в матрице, которая максимально увеличивает нижнюю оценку при её исключении, т.е. имеет максимальную сумму констант приведений:

Максимальная сумма констант приведений соответствует дуге . Исключение дуги приводит к улучшению оценки на 68: , . . Включение дуги в путь вызывает исключение в матрице первой строки и шестого столбца. Необходимо запретить контур , тем самым исключить из рассмотрения дугу .

, для разбиения выбираем множество .

Таблица 3.13 - Матрица смежности подмножества

i/j	2	3	4	5
2		5	0	0
3	0		44	4
5	15	0	9
6	71	0		37

Подсчитываем сумму констант: .

Выбираем дугу , считаем оценку снизу подмножества : . Включение дуги приводит к исключению третьего столбца и шестой строки. Так же исключаем контур , запрещая дугу .

Таблица 3.14 - Матрица смежности подмножества

i/j	2	4	5
2		0	0
3	0		4
5	15	9

Матрицу можно привести по пятой строке на девять единиц. Нижняя оценка подмножества : . Сравниваем две оценки: . Для дальнейшего разбиения выбираем подмножество , .

Таблица 3.15 - Приведённая матрица смежности подмножества

i/j	2	4	5
2		0	0
3	0		4
5	6	0

Подсчитываем сумму констант, для которых : . Исключение дуги , приводит к улучшению нижней оценки подмножества на 10: . Включение дуги запрещает третью строку и второй столбик.

Таблица 3.16 - Матрица смежности подмножества

i/j	4	5
2		0
5	0

Эта матрица прямо указывает на то, что в искомый маршрут необходимо включить дуги . При этом нижняя оценка подмножества G увеличится на 10 и станет равной: . . Подмножества Н останется без изменения: .

Таким образом получили следующий гамильтонов цикл: (4, 1, 6, 3, 2, 5, 4). Длина его L = 102.

Сопоставляя длину найденного маршрута с нижней границей длин маршрутов подмножеств, которые не были рассмотрены до конца, видим, что рассмотрение большинства из них не имеет смысла, так как их нижняя граница превышает . Но может оказаться, что среди гамильтоновых путей подмножества , у которого нижняя граница равна 97, имеется путь меньшей длины.

Необходимо исследовать данное подмножество по матрице подмножества (таблица 7.3). Нужно рассмотреть два подмножества . Исключение дуги приводит к увеличению оценки подмножества : . Подмножество можно исключить из пути, так как .

Для подмножества включение дуги означает изъятие из матрицы шестой строки и первого столбца. Необходимо запретить дугу .

Таблица 3.17 - Матрица смежности подмножества

i/j	2	3	4	5	6
1	59	64	0	61
2		5	18	0	81
3	0		62	4	9
4	0	42		18	36
5	15	0	27		55

Матрицу можно привести по шестому столбцу путём вычитания из всех элементов столбца 9. Тогда нижняя оценка подмножества увеличится на 9: . И она станет больше, чем у подмножества . Значит лучшего решения в подмножестве К нет.

Рисунок 3.16 - Гамильтонов путь

Построим дерево, иллюстрирующее алгоритм решения.

U

А B

J K C D

E F

G H

Рисунок 3.17 – Решение задачи о коммивояжёре в виде дерева