4. Теоретические сведения

1. Задача о кратчайшем пути

Формулировка задачи:

В ориентированном взвешенном графе G = (X,U) найти кратчайший путь из начальной вершины s в конечную вершину t.

Считаем, что отсутствующие в графе дуги имеют вес равный ∞ (максимальное целое число).

Для графа с неотрицательными весами дуг, т.е. , один из алгоритмов нахождении кратчайшего пути предложил Е. Дейкстра в 1959г.

На каждой итерации этого алгоритма всякая вершина графа получает метку , которая может быть постоянной либо временной. В первом случае - вес кратчайшего -пути. Если метка - временная, то - вес кратчайшего - пути, проходящего только через вершины с постоянными метками. Временная метка является оценкой сверху для веса кратчайшего -пути, и став на некоторой итерации постоянной, она остаётся такой до конца работы алгоритма.

Кроме , с каждой вершиной графа , за исключением , связывается ещё одна метка - . На каждой итерации является номером вершины, предшествующей в - пути, имеющем минимальный вес среди всех - путей, проходящих через вершины получивших к данному моменту постоянные метки. После того, как вершина получила постоянную метку, с помощью меток легко указать последовательность вершин, составляющих кротчайший - путь.

Перед началом первой итерации алгоритма вершина имеет постоянную метку , а метки всех остальных вершин равны и эти метки временные. Общая итерация алгоритма состоит в следующем. Пусть - вершина, получившая постоянную метку на предыдущей итерации. Просматриваем все вершины , имеющие временные метки, с целью уменьшения этих меток. Метка вершины заменяется на , если оказалось, что . В этом случае говорим, что вершина получила свою метку из вершины , и полагаем . Если же , то метки и вершины не изменяются на данной итерации. Алгоритм заканчивает работу, когда метка становится постоянной. - вес кротчайшего - пути, который будем обозначать через . Этот путь определяется с помощью меток так: .

Будем считать, что граф задан матрицей весов либо списками смежности.

2. Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути в графе

1. Положить и считать эту метку постоянной. Положить для всех , и считать эти метки временными. Положить .

2. Для всех с временными метками выполнить:

если , то и .

Иначе и не менять.

3. Пусть - множество вершин с временными метками . Найти вершину такую, что . Считать метку постоянной меткой вершины .

4. Положить . Если , то перейти к пункту 5, иначе перейти к пункту 2.

5. , - кратчайший путь.

3. Пример решения задачи нахождения кратчайшего пути

В простом взвешенном графе на рисунке 3.1 найти кратчайший путь из в , используя алгоритм Дейкстры.

x₂ 3 x₄ 6 x₇

6 6 7 5

x₀ 4 x₁ 9 x₈

3 x₅ 4 11

8 10

x₃ 7 x₆

Рисунок 3.1 - Простой взвешенный граф

Табли­ца 3.1 - Последо­вательное изменение меток вершин

	Метки
X0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
X1		4	4	4	4	4	4	4	4
X2		6	6	6	6	6	6	6	6
X3		8	7	7	7	7	7	7	7
X4			10	9	9	9	9	9	9
X5				13	13	13	13	13	13
X6					14	14	14	14	14
X7						15	15	15	15
X8							22	22	20

Таблица 3.2 - Последо­вательное изменение меток

	Метки
X1	0	0	0	0	0	0	0
X2	0	0	0	0	0	0	0
X3	0	1	1	1	1	1	1
X4		1	2	2	2	2	2
X5			2	2	2	2	2
X6				3	3	3	3
X7					4	4	4
X8						5	7

Из таблиц 3.1 и 3.2 можно определить кратчайший путь и его длину.

Длину кратчайшего пути в таблице 3.1 определяем по постоянной метке, которую имеет конечная вершина: вершина имеет постоянную метку равную 20, значит длина кратчайшего пути l ( )=20.

Сам кратчайший путь определяем из таблицы 4.2: метка последней вершины указывает на индекс вершины предшествующей ей и т.д. пока не дойдем до начальной вершины. Вершины в обратном порядке указывают кратчайший путь: .

l=6 l=9 l=15

x₂ 3 x₄ 6 x₇

6 6 7 5

x₀ 4 x₁ 9 x₈

3 l=4 x₅ l=13 4 11 l=20

8 10

x₃ 7 x₆

l=7 l=14

Рисунок 3.2 - Окончательное распределение меток и кратчайший путь