Занятие №5. Двойственные задачи линейного программирования План занятия:
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала:
1.Понятие двойственной задачи линейного программирования. Взаимосвязь между взаимно двойственными задачами. Алгоритм составления двойственной задачи.
2.Три теоремы о взаимно двойственных задачах.
3.Экономический смысл решения двойственной задачи.
3.Усвоение и закрепление нового материала. Решение практических заданий
№1. Для данной задачи составить двойственную, решить ее симплексным методом и, используя теоремы двойственности, найти решение исходной задачи:
Решение.
Используя вторую симметричную пару двойственных задач, составляем задачу, двойственную к исходной:
Вводя неотрицательные дополнительные
переменные
,
приводим задачу к каноническому виду:
Находим начальное опорное решение
с базисом из единичных векторов
.
6 5 2 0 0 0
Б |
Сб |
A0 |
A1 A2 A3 A4 A5 A6 |
Q1 |
Q2 |
Q3 |
|||
A4 A5 A6 |
0 0 0 |
2 4 6 |
2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 2 -1 2 0 0 1 |
1 4 3 |
2 4 - |
- 4 3 |
|||
|
0 |
-6 -5 -2 0 0 0 |
Q4 |
|
|||||
A2 A5 A6 |
5 0 0 |
2 2 8 |
2 1 0 1 0 0 -1 0 1 -1 1 0 4 0 2 1 0 1 |
2 - 4/3 |
|
||||
|
10 |
4 0 -2 5 0 0 |
|
||||||
A2 A3 A6 |
5 2 0 |
2 2 4 |
2 1 0 1 0 0 -1 0 1 -1 1 0 6 0 0 3 -2 1 |
max F(Y)=14, Y*=(0,2,2), Б*=(А2,А3,А6) |
|||||
|
14 |
2 0 0 3 2 0 |
|||||||
Оптимальное решение двойственной задачи
Y*=(0,2,2,0,0,4) его базис
,
значение целевой функции max
F(Y)=F(Y*)=14.
Оптимальное решение исходной задачи,
двойственной к решенной, можно найти
по формуле:
.
Матрица D состоит из
координат векторов
,
входящих в базис оптимального решения
двойственной задачи:
.
Матрица
находится в последней симплексной
таблице. Ее столбцы располагаются под
столбцами единичной матрицы, т.е. под
единичными векторами
,
образующими базис начального опорного
решения:
.
Координатами вектора С* являются
коэффициенты целевой функции при
базисных неизвестных оптимального
решения
.
Данные коэффициенты записываются в том
же порядке, в каком векторы условий
входят в базис оптимального решения,
т.е. С*=(5,2,0).
Вычисляем X*=С*В-1=(5,2,0)
=(3,2,0).
Оптимальное решение исходной задачи можно найти проще, по формуле:
.
Для этого необходимо к оценкам разложений
по базису оптимального решения векторов
,
входящих в базис начального опорного
решения, т.е. к оценкам этих векторов в
последней симплексной таблице, прибавить
соответствующие коэффициенты целевой
функции:
.
Ответ: min Z(X)=14 при X*=(3,2,0).
Для задач №2-№4 составить двойственные задачи и решить их
а) симплексным методом;
б) применяя теоремы двойственности.
№2. Предприятие выпускает продукцию двух видов A и B, используя три вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы их расхода и прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице. Определить план производства продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль.
1.
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
A
B
Трудовые
12
15
360
Оборудование
6
4
240
Сырье
5
3
180
Прибыль
9
10
2.
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
A
B
Трудовые
8
6
240
Оборудование
5
6
300
Сырье
4
7
180
Прибыль
8
12
3.
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
A
B
Трудовые
15
12
330
Оборудование
4
5
240
Сырье
5
6
300
Прибыль
6
9
4.
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
A
B
Трудовые
7
5
350
Оборудование
2
4
280
Сырье
3
5
180
Прибыль
8
10
5.
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
A
B
Трудовые
5
6
180
Оборудование
8
4
240
Сырье
4
3
120
Прибыль
9
7
№3. Предприятие может производить изделие двумя технологическими способами, используя три вида ресурсов. Запасы ресурсов и нормы их расхода приведены в таблице. Определить план производства продукции, обеспечивающий наибольший валовой выпуск.
1.
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
I способом
II способом
Трудовые
2
1
60
Оборудование
5
4
250
Сырье
4
3
180
2.
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
I способом
II способом
Трудовые
1
5
90
Оборудование
2
2
140
Сырье
6
3
120
3.
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
I способом
II способом
Трудовые
2
5
160
Оборудование
1
1
80
Сырье
5
9
180
4.
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
I способом
II способом
Трудовые
3
7
210
Оборудование
1
4
80
Сырье
3
3
120
5.
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
I способом
II способом
Трудовые
6
9
270
Оборудование
2
5
150
Сырье
2
6
180
16
-
Ресурсы
Нормы расхода сырья на единицу продукции
Запасы ресурсов
I способом
II способом
Трудовые
2
3
90
Оборудование
2
1
80
Сырье
5
9
180
№4. Из двух веществ A и B, содержащих элементы K1, K2 и K3, необходимо составить смесь. Количество этих элементов, содержащихся в единице веса каждого вещества, и стоимость единицы вещества приведены в таблице. Содержание элементов в смеси не должно быть меньше указанных объемов. Определить наиболее дешевый план закупки веществ.
1.
Элементы |
Содержание элементов в 1 ед. веса вещества |
Содержание элементов в смеси (не меньше) |
|
A |
B |
||
K1 |
4 |
6 |
36 |
K2 |
1 |
4 |
12 |
K3 |
4 |
2 |
16 |
Цена ед. веса вещества |
4 |
5 |
|
2.
Элементы |
Содержание элементов в 1 ед. веса вещества |
Содержание элементов в смеси (не меньше) |
|
A |
B |
||
K1 |
5 |
8 |
40 |
K2 |
2 |
3 |
12 |
K3 |
2 |
5 |
10 |
Цена ед. веса вещества |
3 |
4 |
|
3.
Элементы |
Содержание элементов в 1 ед. веса вещества |
Содержание элементов в смеси (не меньше) |
|
A |
B |
||
K1 |
1 |
3 |
9 |
K2 |
3 |
3 |
12 |
K3 |
2 |
1 |
10 |
Цена ед. веса вещества |
2 |
4 |
|
4.
Элементы |
Содержание элементов в 1 ед. веса вещества |
Содержание элементов в смеси (не меньше) |
|
A |
B |
||
K1 |
2 |
2 |
14 |
K2 |
1 |
3 |
9 |
K3 |
3 |
0 |
18 |
Цена ед. веса вещества |
4 |
2 |
|
5.
Элементы |
Содержание элементов в 1 ед. веса вещества |
Содержание элементов в смеси (не меньше) |
|
A |
B |
||
K1 |
5 |
1 |
15 |
K2 |
3 |
2 |
18 |
K3 |
4 |
5 |
20 |
Цена ед. веса вещества |
3 |
3 |
|
4. Подведение итогов занятия.
5. Постановка домашнего задания.