3. Проверка вырожденности плана

Число занятых клеток или базисных переменных в первом опорном плане равно шести . план транспортной задачи является вырожденным, так как число базисных переменных в невырожденном плане равно m + n – 1 = 4 + 4 – 1 = 7. Для продолжения решения задачи опорный план необходимо дополнить введением фиктивной перевозки, т.е. занять нулем одну из свободных клеток.

При построении первого опорного плана одновременно были вычеркнуты строка А₂ и столбец В₂, поэтому произошло вырождение плана. На право фиктивной перевозки претендуют свободные клетки строки А₂ и столбца В₂, которые имеют минимальный тариф и не образуют с занятыми клетками замкнутого прямоугольного контура. Такими клетками являются А₂В₄ и А₃В₂. Нуль направляем в клетку А₂В₄.

4. Расчет значения целевой функции

Значение целевой функции первого опорного плана определяем путем суммирования произведений тарифов на объемы перевозимого груза по всем занятым клеткам таблицы.

L(Х₁) = 4∙70 + 3∙20 + 2∙60 + 1∙40 + 3∙0 + 6∙10 + 0∙10 = 560 (тыс.руб.).

5. Проверка условия оптимальности

Рассчитаем потенциалы по занятым клеткам таблицы из условия: ( Так как число неизвестных потенциалов больше числа уравнений (m + n > m + n – 1), то один из потенциалов принимаем равным нулю. Пусть . Тогда для занятых клеток можем записать систему уравнений:

Полагая , получим , , , ,

Рассчитанные потенциалы заносим в таблицу 7. Подсчитаем оценки свободных клеток.

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Первый опорный план не является оптимальным, так как имеются положительные оценки свободных клеток и . Выбираем максимальную положительную оценку свободной клетки - .

6. Построение нового опорного плана

Для клетки А₃В₂ построим прямоугольный замкнутый контур 0таблица 7) и проведем перераспределение груза контуру. Вершинам контура, начиная от вершины, находящейся в свободной клетке А₃В₂,присваиваем поочередно знаки «+» и «−» .

Из объемов груза, стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. θ = min(20,10) = 10. Прибавляем значение θ = 10 к объемам груза, стоящих в плюсовых клетках, вычитаем из объемов груза, стоящих в минусовых клетках замкнутого контура. В результате получим новый опорный план, приведенный в таблице 8.

						Запасы
		В1	В2	В3	В4
	A1	5	4	2	1 40	40
	A2	4	3 10	2 60	3 10	80
	A3	4 70	3 10	3	6	80
	A4	0	0	0	0 10	10
Потребности		70	20	60	60	210 210

Второй опорный план транспортной задачи невырожденный, так как число занятых клеток равно 7.

L(X₂) = L(X₁) – θ∙ = 560 – 10∙3 = 530 (тыс.руб.).

Этот план проверяем на оптимальность. Снова находим потенциалы поставщиков и потребителей. Для этого составляем по занятым клеткам следующую систему уравнений:

Полагая , получим , , , ,

Рассчитываем оценки свободных клеток.

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Второй опорный план транспортной задачи (таблица 8) не является оптимальным, так как . Строим замкнутый контур для клетки А₄В₁. Находим значение θ в контуре: θ = min{70, 10, 10}= 10. Переходим к третьему опорному плану, приведенному в таблице 9.

						Запасы
		В1	В2	В3	В4
	A1	5	4	2	1 40	40
	A2	4	3	2 60	3 20	80
	A3	4 60	3 20	3	6	80
	A4	0 10	0	0	0	10
Потребности		70	20	60	60	210 210

Третий опорный план является вырожденным, так как в минусовых клетках замкнутого контура (таблица 8) находятся два одинаковых минимальных значения . При переходе к третьему плану клетка А₄В₁ становится занятой, а две клетки А₂В₂ и становится А₄В₄ оказались свободными. Для продолжения решения задачи в одну из освободившихся клеток записываем нуль. Предпочтение отдаем клетке А₄В₄ , так как

L(X₃) = L(X₂) – θ∙ = 530 – 10∙1 = 520 (тыс.руб.).

Проверяем третий опорный план на оптимальность. Снова находим потенциалы поставщиков и потребителей. Для этого составляем по занятым клеткам таблицы 9 следующую систему уравнений:

Полагая , получим , , ,

Рассчитываем оценки свободных клеток.

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Все оценки свободных клеток меньше или равны нулю, следовательно третий опорный план является оптимальным.

,

Анализ оптимального плана.

Из первого склада необходимо весь груз направить в четвертый магазин, из второго склада направить груз в третий и четвертый магазины в количестве 60 и 20 единиц соответственно. С третьего склада следует вывозить груз в первый и второй магазины в количестве 60 и 20 единиц соответственно. Потребность первого магазина остается неудовлетворенной на 10 единиц груза. Общая стоимость доставки груза потребителям будет минимальной и составит 520 тыс.рублей.

Оптимальный план транспортной задачи является вырожденным, так как клетка А₄В₄ занята нулем ( = 0). Задача имеет множество оптимальных планов, поскольку оценка свободной клетки .