4. Определение нового опорного плана.

Новый опорный план получаем в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса и далее переходим к этапу 2 алгоритма.

Решение задачи продолжаем до получения оптимального плана.

Если все коэффициенты направляющей строки положительны, т.е. a_ik ≥ 0, то задача не имеет решения, так как в этом случае _j , ( не существует.

Пример.

Определить , который удовлетворяет условиям

и доставляет максимальное значение целевой функции

. (4.3)

Систему ограничений (4.1) приведем к системе неравенств смысла «≤», умножив обе части I и II неравенств на (−1).

Перейдем к системе уравнений:

(4.5)

За базис выбираем систему векторов - В системе уравнений А₄, А₅, А₆, так как эти векторы единичные и линейно независимые. Соответствующие единичным векторам переменные являются базисными.

Разрешим систему уравнений (4.5) относительно базисных переменных

(4.6)

_{Функцию цели запишем в виде:}

. (4.7)

Полагая, что свободные переменные , получим первый опорный план, который заносим в симплексную таблицу 1.

, .

В таблице 1 псевдоплан или условно-оптимальный план, так как условие оптимальности в индексной строке выполняется, а в столбце свободных членов имеются отрицательные значения. Следовательно, переходим к следующему этапу алгоритма – определению направляющих строки и столбца.

Среди отрицательных значений столбца свободных членов выбираем наибольший по абсолютной величине. Так как |−12| > |−6|, то первая строка, соответствующая переменной , является направляющей, а переменную нужно вывести из базиса.

Для выбора направляющего столбца коэффициенты индексной строки делим на соответствующие отрицательные коэффициенты направляющей строки: ; ; .

Результаты деления, взятые по абсолютной величине, заносим в строку . Из полученных j выбираем min{5; 8; 5,5} = 5, которое соответствует первому столбцу с переменной x₁. Данный столбец является направляющим, а переменную x₁ следует ввести в базис. На пересечении направляющих строки и столбца находится разрешающий элемент, равный (−1). Далее выполняем преобразование симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса и заполняем таблицу 2.

Третий опорный план (таблица 3) является оптимальным, так как в индексной строке условие оптимальности выполняется и все значения базисных переменных – положительные числа:

= (2; 0; 5; 0; 36; 0), L( = 135.

Таблица 1	Базисные переменные	Свободные члены (значения базисных переменных)	x1	x2	x3	x4	x5	x6
	 x4	−12	-1	−1	−2	1	0	0
	x5	−6	−1	3	−8	0	1	0
	x6	7	1	−1	1	0	0	1
		200	5	8	11	0	0	0
			5	8	5,5	−	−	−
Таблица 2	x1	12	1	1	2	−1	0	0
	x5	6	0	4	−6	−1	1	0
	 x6	−5	0	−2	−1	1	0	1
		140	0	3	1	5	0	0
			−	1,5	1	−	−	−
Таблица 3	x1	2	1	−3	0	1	0	−2
	x5	36	0	16	0	−7	1	−6
	x3	5	0	2	1	−1	0	−1
		135	0	1	0	6	0	1

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления (поставщики) A₁, A₂, . . ., A _m в n пунктов потребления (потребители) B₁, B₂, . . . B_n так, чтобы:

- вывезти все грузы от поставщиков;

- удовлетворить спрос каждого потребителя;

- обеспечить минимальные суммарные транспортные расходы на перевозку всех грузов.

Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой используется минимальная стоимость перевозки всего груза.

Обозначим:

a_i - наличие груза в i-ом пункте отправления ;

b_j - величина потребности в этом грузе в j-ом пункте назначения ;

с_ij - стоимость перевозки единицы груза из i-ого пункта отправления в j-ый пункт потребления (тариф перевозки);

x_ij - количество груза, перевозимого из i-ого пункта отправления в j-ый пункт назначения, назначения, x_ij ≥ 0.

Математическая постановка транспортной задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений, при котором целевая функция принимает минимальное значение.

Запишем математическую модель транспортной задачи.

Требуется определить матрицу ) , которая удовлетворяет следующим условиям:

, (5.1)

, (5.2)

, _, (5.3)

и доставляет минимальное значение целевой функции

L ( ) = (5.4)

Поскольку переменные удовлетворяют системе линейных уравнений (5.1), (5.2) и условию неотрицательности, то обеспечивается доставка необходимого груза каждому потребителю, вывоз имеющегося груза от всех поставщиков, а также исключаются обратные перевозки.

Определение 1. Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (5.1) и (5.2), определенное матрицей ) называется допустимым планом транспортной задачи.

Определение 2. План ) при котором функция (5.4) принимает максимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Теорема 1. Ранг матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений (5.1) и (5.2) транспортной задачи, на единицу меньше числа уравнений, т.е. равен (m + n – 1).

Следовательно, число линейно независимых уравнений равно (m + n – 1), они образуют базис, а соответствующие им переменные будут являться базисными.

Определение 3. Допустимый план транспортной задачи, имеющий не более (m + n – 1) отличных от нуля величин , называется базисным или опорным.

Определение 4. Если в опорном плане число отличных от нуля значений переменных в точности равно (m + n – 1), то план является невырожденным, а если меньше – вырожденным.

Теорема 2. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, что суммарные запасы груза в пунктах отправления были равны суммарным потребностям в пунктах назначения, т.е.

= (5.5)

Определение 5. Модель транспортной задачи, удовлетворяющая условию (5.5), называется закрытой. Если указанное условие не выполняется, то модель является открытой.

Для получения оптимального плана открытую модель транспортной задачи необходимо свести к закрытой модели.

В случае превышения запаса над потребностью, т.е. > , вводится фиктивный (n+ 1) –ый пункт назначения с потребностью b_n+1 = − , а соответствующие тарифы считаются равными нулю: С_{i ,n+1} = 0

Если < , то вводится фиктивный (m + 1) –ый пункт отправления с потребностью a_m+1 = − и тарифами С_{m+1, j} = 0

Рассмотрим один из методов построения первого опорного плана транспортной задачи – метод минимальной стоимости или наилучшего элемента матрицы удельных затрат.

Определение 6. Наилучшим элементом матрицы удельных затрат (тарифов) будем называть наименьший тариф, если задача поставлена на минимум целевой функции, наибольший тариф – если задача поставлена на максимум.

Алгоритм построения первого опорного плана.

1. Среди матрицы удельных затрат находим наилучший тариф.

2. Клетку распределительной таблицы с выбранным тарифом заполняем максимально возможным объемом груза с учетом ограничений по строке и столбцу. При этом либо весь груз вывозится от поставщика, либо полностью удовлетворяется потребность потребителя. Строка или столбец таблицы вычеркивается из рассмотрения и в дальнейшем распределении не участвует.

3. Из оставшихся тарифов вновь выбираем наилучший и процесс продолжается до тех пор, пока не будет распределен весь груз.

Если модель транспортной задачи открытая и введен фиктивный поставщик или потребитель, то распределение сначала осуществляется для действительных поставщиков и потребителей, и в последнюю очередь нераспределенный груз направляется от фиктивного поставщика или к фиктивному потребителю.

Дальнейшее улучшение первого опорного плана транспортной задачи и получение оптимального плана производим методом потенциалов.

Теорема 3. План ) транспортной задачи является оптимальным, если существует система (m + n) чисел u_i и v_j (называемых потенциалами), удовлетворяющая условиям:

1. L( ) → min

(5.6)

2. L( ) → max

(5.7)

Потенциалы u_i и v_j являются переменными двойственной задачи, составленной к исходной транспортной задаче, и обозначают оценку единицы груза в пунктах отправления и назначения соответственно.

Обозначим: ) оценка свободной (незанятой) клетки таблицы.

Определение 7. Опорный план транспортной задачи является оптимальным, если все оценки свободных клеток распределительной таблицы (задача поставлена на минимум).

Алгоритм метода потенциалов

1. Построение первого опорного плана транспортной задачи методом минимальной стоимости.

2. Проверка вырожденности плана.

Потенциалы могут быть рассчитаны только для невырожденного плана. Если число занятых клеток в опорном плане (число базисных переменных) меньше, чем (m+n−1), то вносим нуль в одну из свободных клеток таблицы так, чтобы общее число занятых клеток стало равным (m+n−1). Нуль вводят в клетку с наилучшим тарифом, которая принадлежит строке или столбцу. Одновременно вычеркиваемых при составлении первого опорного плана. При этом фиктивно занятая нулем клетка таблицы не должна образовывать замкнутого прямоугольного контура с другими занятыми клетками таблицы.