Тема: Двойственный симплексный метод

Двойственный симплексный используется для решения задачи линейного программирования, записанной в форме основной задачи, среди векторов которой имеется m единичных, свободные члены b_i принимают любые значения, а система ограничений задана в виде неравенств смысла «≥», либо смешанных неравенств «≥», «≤» и «=».

Если в симплексном методе оптимальный план получается в результате перехода от одного опорного плана к другому, то в двойственном симплексном методе – в результате движения по псевдопланам.

Определение 1. Условно-отимальным планом или псевдопланом называется план, в котором удовлетворяется признак оптимальности (все коэффициенты индексной строки ∆_j ≥ 0 при решении задачи на максимум и все ∆_j ≤ 0 при решении задачи на минимум целевой функции), а среди значений столбца свободных членов b_i имеются отрицательные числа.

Алгоритм двойственного симплексного метода включает следующие этапы:

1. Составление псевдоплана.

Систему ограничений исходной задачи приводим к системе неравенств смысла «≥». Для этого обе части неравенств смысла «≥» умножаем на (−1). Если ограничение исходной задачи задано в виде равенства, необходимо представить его в виде системы двух неравенств противоположного смысла.

От полученной системы неравенств смысла «≤» переходим к системе уравнений, вводя неотрицательные дополнительные переменные, которые становятся базисными. Разрешаем систему уравнений относительно базисных переменных и первый опорный план заносим в симплексную таблицу. Индексную строку таблицы заполняем коэффициентами целевой функции, взятыми с противоположными знаками.

2. Проверка плана на оптимальность.

Если в полученном опорном плане условие оптимальности не выполняется, то осуществляем симплексную процедуру(см.решение задачи ЛП симплексным методом). В этом случае существует следующее правило: при расчете значений столбца  отрицательные значения свободных членов b_i делим только на отрицательные коэффициенты направляющего столбца, положительные значения b_i - на положительные коэффициенты a_ik, а в строке, имеющей разноименные знаки b_i и a_ik значения _i не существует.

Если в опорном плане условие оптимальности удовлетворяется и все значения столбца свободных членов b_i ≥ 0, то получен оптимальный план. Наличие среди столбца свободных членов хотя бы одного отрицательного числа свидетельствует о получении псевдоплана и требует перехода к следующему этапу алгоритма.

3. Определение направляющих (разрешающих) строки и столбца.

Среди отрицательных значений столбца свободных членов b_i выбираем наибольшее по абсолютной величине. Строка, соответствующая этому значению, является направляющей ( i = k ).

Симплексную таблицу дополняем строкой , в которую заносим результаты деления, взятые по абсолютной величине, коэффициентов индексной строки на соответствующие отрицательные коэффициенты направляющей строки. В столбцах, имеющих значения a_ik ≥ 0, _j не существует. Столбец с минимальным значением _j является направляющим. Разрешающий элемент, находящийся на пересечении направляющих строки и столбца симплексной таблицы, в двойственном симплексном методе он всегда отрицательный.