4. Определение нового опорного плана.

Для перехода к новому опорному плану производится пересчет симплексной таблицы методом Жордана- Гаусса. Сначала заменим переменные в базисе, т.е. вместо x_r в базис войдет переменная а_k , соответствующая направляющему столбцу.

Разделим все элементы направляющей строки r предыдущей симплексной таблицы на разрешающий элемент а_rk и результаты деления занесем в строку r следующей симплексной таблицы, которая соответствует введенной в базис переменной x_k. В результате этого на месте разрешающего элемента новой симплексной таблицы будем иметь «1», а в остальных клетках столбца «к» накапливаем нули. Это равносильно исключению переменной x_k из всех строк таблицы (уравнений), кроме строки r, соответствующей переменной . x_k .

Преобразование остальных строк симплексной таблицы, включая индексную, рассмотрим на примере строки і. Для получения новых элементов і-ой строки коэффициент а _іk , находящийся на пересечении і-ой строки и k-го столбца и взятый с противоположным знаком, умножаем на элементы преобразованной направляющей строки r и складываем с соответствующими элементами і-ой строки. Результаты заносим в і-ую строку новой симплексной таблицы. Если коэффициент а _іk = 0, то і-ая строка переносится в следующую симплексную таблицу без изменений.

Полученный новый опорный план снова проверяем на оптимальность. Таким образом, переходим ко второму этапу алгоритма и продолжаем процесс до получения оптимального плана.

Замечания.

1. При решении задачи линейного программирования на минимум целевой функции признаком оптимальности плана являются отрицательные значения всех коэффициентов индексной строки симплексной таблицы. Если опорный план не оптимален, то максимальное положительное значение коэффициента индексной стоки определяет выбор направляющего столбца.

2. Если в направляющем столбце все коэффициенты а _іk ≤ 0, то функция цели L( ) не ограничена на множестве допустимых планов, т.е. L( ) → ∞ и задача не имеет решения.

3. Если в столбце θ симплексной таблицы содержатся два или несколько одинаковых наименьших значения, то новый опорный план будет вырожденным, т.е. одна или несколько базисных переменных станут равными нулю.

4. Если в оптимальный план вошла дополнительная переменная x_n+1 , то это свидетельствует о недоиспользовании ресурса і-го вида в количестве значения этой переменной.

5. Если в индексной строке оптимальной симплексной таблицы находится нуль, принадлежащий столбцу свободной переменной, не вошедшей в базис, а среди коэффициентов данного столбца имеется хотя бы один положительный элемент, то задача имеет множество оптимальных планов. Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, можно ввести в базис, выполнив 3 и 4 этапы алгоритма, в результате будет получен второй оптимальный план с другим набором базисных переменных, но с тем же значением функции цели. Согласно основной теореме линейного программирования, любая выпуклая комбинация этих планов также является оптимальным планом задачи.

Пример.

Торговое предприятие при продаже трех групп товаров использует три вида ограниченных материально-денежных ресурсов. Нормы затрат ресурсов на реализацию единицы товарооборота (тыс.руб.), объем ресурсов и доход от реализации единицы товарооборота приведены в технологической таблице.

Определить оптимальный план реализации товаров, обеспечивающий торговому предприятию максимальную прибыль (числа условные).

№ п\п	Виды материально-денежных ресурсов (i = 1,3)	Единица измерения	Норма затрат ресурсов на реализацию 1 ед.товарооборота			Объем материально-денежных ресурсов (b і)
			1 группа (а і1)	2 группа (а і2)	3 группа (а і3)
1. 2. 3.	Рабочее время продавцов Площадь торговых залов Площадь складских помещений	Чел.-час. м2 м2	2 3 2	1 3 1	6 9 2		240 540 120
Прибыль от реализации ед. т/о		Тыс.руб.	14	6	22		max

Запишем математическую модель задачи.

Определить , который удовлетворяет условиям

и доставляет максимальное значение целевой функции

. (2.9)

Задачу (2.8) – (2.9) решим симплексным методом.

Для получения первого опорного плана систему неравенств (2.7) приведем к системе уравнений

(2.10)

В системе уравнений - основные переменные, характеризующие объемы реализации 1, 2 и 3 групп товаров соответственно, - дополнительные переменные, определяющие объемы ресурсов.

Решим систему уравнений (2.10) относительно базисных переменных

Функцию цели запишем в виде: (2.12)

Полагая, что свободные переменные , получим первый опорный план: , , в котором базисные переменные .

Первый опорный план заносим в симплексную таблицу (см. таблицу0. этот план является не оптимальным, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты: –14, –6, –22. Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбираем наибольший по абсолютной величине. Так как |–22| > {|–14|, |–6|}, то направляющий столбец соответствует переменной x₃. Тогда на следующей итерации переменная x₃ перейдет из свободных в базисные. Элементы столбца свободных членов симплексной таблицы разделим на соответствующие положительные коэффициенты направляющего столбца: ; ; . Из трех значений столбца θ выбираем min{40,60,60}= 40. Строка симплексной таблицы, соответствующая минимальному значению θ, является направляющей. Она определяет переменную x₄, которая на следующей итерации перейдет из базиса и станет свободной. На пересечении направляющих столбца и строки находится разрешающий элемент, равный 6. В таблице 1 направляющие столбец и строка помечены стрелками, а разрешающий элемент обведен кругом.

Формируем следующую симплексную таблицу 2. Вместо переменной x₄ в таблицу 2 вошла переменная x₃. Строка, соответствующая переменной x₃ получена в результате деления всех элементов направляющей строки (строка переменной x₄ таблицы 1) на разрешающий элемент 6. На месте разрешающего элемента в таблице получаем «1». В остальных клетках столбца x₃ таблицы 2 накапливаем нули методом Жордана-Гаусса.

Рассмотрим преобразование второй строки симплексной таблицы, которая соответствует переменной x₄ . Для получения новых значений элементов данной строки необходимо все элементы преобразованной направляющей строки таблицы 2 умножить на число, стоящее на пересечении строки x₅ и столбца x₃ таблицы 1, взятое с противоположным знаком, т.е. на (–9). Результаты умножения сложить с соответствующими элементами строки x₅ таблицы 1 и записать в строку x₅ таблицы 2.

40·(–9) + 540 = 180

·(–9) + 3 = 0

·(–9) + 3 =

1·(–9) + 9 = 0

·(–9) + 0 = –

0·(–9) + 1 = 1

0·(–9) + 0 = 0.

Аналогично проводятся расчеты по всем строкам таблицы, включая индексную.

Далее возвращаемся к этапу 2 алгоритма – проверка оптимальности опорного плана. Выполняя последовательно все этапы алгоритма, заполняем таблицу 3.

На третьей итерации в таблице 3 получен оптимальный план, так как все коэффициенты в индексной строке ∆_j ≥ 0, j = 1, 6.

Запишем оптимальный план:

= (30, 0, 30, 0, 180, 0), L( ) = 1080 (тыс.руб.).

Следовательно, для получения максимальной прибыли в размере 1080 тыс. руб. торговому предприятию необходимо продавать товаров 1-ой группы 30 ед. (х₁^*= 30) и товаров 3-ей группы 30 ед. (х₃^*= 30). В оптимальный план вошла дополнительная переменная х₅^*= 180. Это указывает на то, что ресурсы второго вида (площади торговых залов) недоиспользованы на 180 м², остальные ресурсы использованы полностью, так как х₄^*= х₆^*= 0.

Полученный в результате решения оптимальный план является невырожденным, так как при расчете столбца θ не были получены одинаковые минимальные значения и все значения базисных переменных в оптимальном плане отличны от нуля.

В индексной строке таблицы 3 в строках переменных , не вошедших в состав базисных, получены ненулевые элементы, поэтому оптимальный план задачи является единственным.

Таблица 1	Базисные перемен- ные	Свободные члены (значения базисных перемнных)	x1	x2	x3	x4	x5	x6	θ
	←x4	240	2	1	6	1	0	0	40
	x5	540	3	3	9	0	1	0	60
	x6	120	2	1	2	0	0	1	60
		0	–14	–6	–22↑	0	0	0
Таблица 2	x3	40			1		0	0	120
	x5	180	0		0	–	1	0	–
	←x6	40			0	–	0	1	30
		880	– ↑	–	0		0	0
Таблица 2	x3	30	0	0	1		0	–
	x5	180	0		0	–	1	0
	x1	30	1		0	–	0
		1080	0	1	0	2	0	5