5.3. Граничные условия на концах стержня и их физический смысл

В интегралы уравнения (12) входят четыре константы, значит, для постановки задачи надо добавить к этому уравнению четыре краевых условия. На каждом конце стержня обычно накладывают по два условия. Рассмотрим стандартные условия при различных способах закрепления стержня.

а) Жесткая шарнирная опора. При :

б) Жесткая заделка. Прогиб и угол поворота при равны нулю:

в) Свободный конец балки. Момент и поперечная сила равны нулю:

Пример. Определить прогибы шарнирно опертой балки, загруженной на концах моментами , и вдоль всей длины постоянной распределенной нагрузкой . Заданы постоянные .

Решение.

Сформулируем краевые условия:

Интегрируя четыре раза уравнение (12), получим:

Подставляя эту формулу в краевые условия:

Отсюда изгибающий момент равен:

Максимальный момент найдем из условия максимума . После вычислений получим мексимум в точке

Как известно из курса математического анализа, момент принимает максимальное значение либо в точке , либо на концах интервала, то есть при или .

6. Расчет на прочность при прямом изгибе стержня. Кручение стержней

6.1. Расчет на прочность

Цель расчета: подобрать размеры сечения заданной формы так, чтобы выполнялось условие прочности. Для расчета должны быть заданы:

а) Внешние нагрузки.

б) Предельно допустимое напряжение .

в) Форма поперечного сечения.

г) Условия закрепления концов балки.

д) Коэффициент запаса прочности.

При расчете обычно ставятся задачи: 1) подбор геометрических размеров сечения; 2) проверка условия прочности.

Методика расчета.

Исходная формула:

Должно выполняться условие:

При заданном напряжение максимально в наиболее удаленной от оси стержня точке при . Величина называется моментом сопротивления и для стандартных сечений есть в справочниках, например, в [6].

Для прямоугольного стержня

Для круглого стержня:

Для расчета надо найти , затем максимум модуля этой функции.

Алгоритм расчета балки на прочность:

1) Строим эпюру изгибающих моментов. Пакет APM WinMachine позволяет это автоматизировать.

2) Находим момент сопротивления как функцию размеров сечения.

3) Используем формулу:

где – коэффициент запаса прочности, для окончательного решения задачи.

Много примеров расчета приведено в книгах [2], [3], [4], [12].

6.2. Кручение круглых стержней

Определение. Кручение — такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент.

Пусть один конец бруса заделан, а ко второму приложен внешний крутящий момент . Тогда в любом поперечном сечении будет действовать крутящий момент . Найдем касательные напряжения, перпендикулярные радиусу круга поперечного сечения.

Элементарная касательная сила, приходящаяся на площадку , при напряжении равна , а ее момент относительно центра сечения

Суммируя элементарные моменты, получим:

(*)

В [11] есть формула для угловой деформации:

Закон Гука для сдвига , откуда:

Подставляя эту формулу в (*), получим:

Величина называется полярным моментом сопротивления.

Отсюда найдем формулу для углов закручивания:

Касательное напряжение:

Максимальные касательные напряжения возникают на поверхности вала при :

(13)

Величина называется полярным моментом сопротивления. Формулу

применяют и к стержням некруглого сечения. В этом случае рекомендуется брать больший коэффициент запаса прочности.

Условие прочности вала при кручении:

и должны быть заданы. В другом виде это условие:

(14)