3. Основы теории деформаций

3.1. Удлинение стержня и закон Гука

Пусть стержень растянут силой . После приложения силы его длина стала , где называется абсолютным удлинением стержня. Возникло т.н. однородное напряженное состояние, при котором напряжения во всех точках одинаковы.

Относительным удлинением назовем величину

Величина называется еще осевой деформацией стержня.

Пусть при неоднородной деформации точка стержня с координатой сместилась на расстояние , а точка с координатой сместилась на расстояние . Тогда осевую деформацию участка стержня между этими точками найдем по определению

(4)

Полученное соотношение (4) является общим и демонстрирует различие между деформацией в точке с координатой и перемещением этой точки.

Для состояния чистого растяжения выполняется закон Гука

где – модуль Юнга. Отсюда можно вывести формулу для удлинения стержня первоначальной длины . Верна цепочка равенств:

Этими формулами можно пользоваться при построении эпюры перемещений по эпюре внутренних усилий.

3.2. Перемещения и деформации в твердом теле

Пусть точка твердого тела с координатами при деформации перемещается в точку с координатами . Вектор назовем вектором перемещения точки :

По определению, координатами вектора перемещения будут величины

Координаты вектора перемещения являются функциями координат точки :

Деформирование тела вызывается разницей в перемещениях его различных точек.

Рассмотрим деформирование параллелепипеда на рис. 5.

Рис. 5. Деформация прямого угла

Длина проекции ребра на ось :

Проекция абсолютного удлинения на ось :

Относительное удлинение вдоль оси :

Эта величина является линейной деформацией по направлению оси . Аналогично получим:

Рассмотрим изменение углов при деформации. Тангенс угла поворота отрезка в плоскости равен

Считая деформацию малой, положим:

Отсюда следует, что

Аналогично выполнено равенство:

Угол сдвига в плоскости (искажение прямого угла ) называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер и :

Аналогично

Очевидно, что

в силу определения угловых деформаций.

Выражение деформаций через перемещения называются уравнениями Коши:

(5)

Объемная деформация.

Вычислим изменение объема бесконечно малого параллелепипеда с начальным объемом . При этом пренебрежем угловыми деформациями. После деформирования длина равна

Аналогично

Объем полученного параллелепипеда

Раскроем скобки и пренебрежем произведениями деформаций как величинами второго порядка малости. Получим:

Обозначим

Величина называется объемной деформацией.

3.3. Закон Гука

При малых деформациях принято считать, что для чистого растяжения стержня нормальные напряжения и линейная деформация пропорциональны:

При этом имеют место поперечные деформации по закону Пуассона:

– коэффициент Пуассона.

Для состояния чистого сдвига при кручении стержня экспериментально установлена зависимость

где – модуль сдвига, – угол сдвига, – касательное напряжение. Известно, что

Обобщенный закон Гука.

При малых объемных деформациях выполнены соотношения

(6)

Эти соотношения называются обобщенным законом Гука [8].