1. Гипотезы о твердом теле. Основы теории напряжений
Прикладная механика изучает напряжения и деформации, вызванные внешними нагрузками в твердом теле. Конечным результатом расчета является выяснение важных механических характеристик элементов конструкций (предельная нагрузка, условия устойчивости и другие).
В ее основу положены законы теоретической механики. В качестве методов расчета используется интегральное и дифференциальное исчисление. Для изучения курса необходимо знать указанные выше предметы на уровне курсов, преподаваемых в технических вузах.
Основные гипотезы о твердом теле
а) Сплошность (не рассматривается атомарная структура). Дает возможность рассматривать деформации и перемещения как непрерывные функции координат.
б) Однородность. Одни и те же внутренние напряжения вызывают одинаковые деформации. Это означает, что упругие константы одинаковы во всем теле.
в) Изотропность. Упругие свойства тел не зависят от направления.
Основные принципы прикладной механики
а) Перемещения малы по сравнению с размерами тела. Относительные удлинения и углы сдвига считаются малыми по сравнению с размерами тела.
б) Принцип независимости действия внешних сил. Этот принцип позволяет пользоваться законом сложения сил.
в) Локальность эффекта самоуравновешенных нагрузок (принцип Сен-Венана). Это означает, что распределение внутренних напряжений зависит только от статического эквивалента приложенных сил, а не от способа приложения нагрузки.
1.1. Внутренние напряжения в твердом теле
Рис. 1. Определение напряжений
Под
действием внешней нагрузки в теле
возникают внутренние напряжения. Для
их определения мысленно рассечем тело
на две части А и В (рис. 1). Плоскость
сечения определяется нормалью
,
внешней по отношению к А. Действие части
B на часть А описывается
силой
,
приложенной к центру тяжести сечения,
и парой сил с моментом
.
Векторы
и
называются усилиями в сечении.
Они
являются равнодействующими элементарных
сил
,
распределенных по сечению
по всем бесконечно малым площадям
,
на которые можно разбить это сечение.
Определение. Интенсивность этих внутренних сил называется напряжением:
(1)
Проекции
вектора
на направления осей принято обозначать
,
,
.
В данной точке вектор
зависит от выбора площадки, иными
словами, от выбора направления нормали
.
Напряжения
на любой площадке, проходящей через
данную точку, можно выразить через
напряжения на площадках, параллельных
координатным плоскостям. Для таких
площадок вместо индекса
будем использовать индекс оси координат,
которой параллелен вектор
.
Примем обозначения для компонентов
вектора интенсивности напряжений:
Эти величины называют напряжениями.
Растягивающие напряжения принято
считать положительными. Напряжения
измеряются в
(Паскали). Паскаль – очень маленькая
единица измерения, поэтому на практике
пользуются Мегапаскалями (
).
1.2. Силовые факторы в стержне
Рис. 2. Сечение стержня с силовыми факторами
Пусть стержень под действием внешних сил находится в равновесии (см. рис. 2).
Мысленно
рассечем его какой-либо плоскостью и
левую часть отбросим. Действие отброшенной
части заменим системой сил в сечении.
При помощи условий равновесия можно
определить главный вектор
и главный момент
внутренних сил, действующих в центре
тяжести сечения. Можно сказать, что в
данном сечении левая часть тела действует
на правую посредством внутренней силы
и внутреннего момента
,
которые находятся из условий равновесия
оставленной части.
Спроецируем и на оси координат. Проекции называются:
–
нормальная сила;
,
–
поперечные силы;
–
крутящий момент;
,
–
изгибающие моменты.
Основные виды нагружения стержня.
Как правило, изучаются случаи нагружения, при которых большая часть внутренних силовых факторов равна нулю. Основные виды нагружения различаются по отличным от нуля факторам:
–
растяжение или сжатие;
–
кручение;
(или
)–
чистый изгиб;
,
–
поперечный изгиб в плоскости
.
Система для расчетов на компьютере.
Для проведения стандартных видов расчета научно-техническим центром АПМ создан комплекс программ APM WinMachine [13]. Наиболее важны в механике деформируемого твердого тела следующие модули:
APM Beam – расчет стержней на поперечный изгиб;
APM Shaft – расчет валов на изгиб и кручение;
APM FEM – расчет напряженного состояния методом конечных элементов (компонент программы «Компас»);
APM Structure3D – расчет стержневых и пластинчатых пространственных конструкций.